As in the discussion of the binomia

As in the discussion of the binomial distribution in Section 1.2, we use the generic
terms success and failure for the outcome categories. For subjects in row 1, let π1
denote the probability of a success, so 1 − π1 is the probability of a failure. For
subjects in row 2, let π2 denote the probability of success. These are conditional
probabilities.
The difference of proportions π1 − π2 compares the success probabilities in the
two rows. This difference falls between −1 and +1. It equals zero when π1 = π2,
that is, when the response is independent of the group classification. Let p1 and p2
denote the sample proportions of successes. The sample difference p1 − p2 estimates
π1 − π2.
For simplicity, we denote the sample sizes for the two groups (that is, the row
totals n1+ and n2+)by n1 and n2. When the counts in the two rows are independent
binomial samples, the estimated standard error of p1 − p2 is
SE =

p1(1 − p1)
n1
+ p2(1 − p2)
n2
(2.1)
The standard error decreases, and hence the estimate of π1 − π2 improves, as the
sample sizes increase.
A large-sample 100(1 − α)% (Wald) confidence interval for π1 − π2 is
(p1 − p2) ± zα/2(SE)
For small samples the actual coverage probability is closer to the nominal confidence
level if you add 1.0 to every cell of the 2 × 2 table before applying this formula.1 For
a significance test of H0: π1 = π2,a z test statistic divides (p1 − p2) by a pooled
SE that applies under H0. Because z2 is the Pearson chi-squared statistic presented
in Section 2.4.3, we will not discuss this test here.
2.2.2 Example: Aspirin and Heart Attacks
Table 2.3 is from a report on the relationship between aspirin use and myocardial
infarction (heart attacks) by the Physicians’ Health Study Research Group at Harvard Table 2.3. Cross Classification of Aspirin Use and
Myocardial Infarction
Myocardial Infarction
Group Yes No Total
Placebo 189 10,845 11,034
Aspirin 104 10,933 11,037
Source: Preliminary Report: Findings from the Aspirin Component of the
Ongoing Physicians’ Health Study. New Engl. J. Med., 318: 262–264,
1988.
Medical School. The Physicians’ Health Study was a five-year randomized study test-ing whether regular intake of aspirin reduces mortality from cardiovascular disease.
Every other day, the male physicians participating in the study took either one aspirin
tablet or a placebo. The study was “blind” – the physicians in the study did not know
which type of pill they were taking.
We treat the two rows in Table 2.3 as independent binomial samples. Of the n1 =
11,034 physicians taking placebo, 189 suffered myocardial infarction (MI) during the
study, a proportion of p1 = 189/11,034 = 0.0171. Of the n2 = 11,037 physicians
taking aspirin, 104 suffered MI, a proportion of p2 = 0.0094. The sample difference
of proportions is 0.0171 − 0.0094 = 0.0077. From equation (2.1), this difference has
an estimated standard error of
SE =

(0.0171)(0.9829)
11, 034 + (0.0094)(0.9906)
11, 037 = 0.0015
A 95% confidence interval for the true difference π1 − π2 is 0.0077 ± 1.96(0.0015),
which is 0.008 ± 0.003, or (0.005, 0.011). Since this interval contains only positive
values, we conclude that π1 − π2 > 0, that is, π1 >π2. For males, taking aspirin
appears to result in a diminished risk of heart attack.
2.2.3 Relative Risk
A difference between two proportions of a certain fixed size usually is more important
when both proportions are near 0 or 1 than when they are near the middle of the range.
Consider a comparison of two drugs on the proportion of subjects who had adverse
reactions when using the drug. The difference between 0.010 and 0.001 is the same
as the difference between 0.410 and 0.401, namely 0.009. The first difference is more
striking, since 10 times as many subjects had adverse reactions with one drug as the
other. In such cases, the ratio of proportions is a more relevant descriptive measure.
For 2 × 2 tables, the relative risk is the ratio
relative risk = π1
π2(2.2)

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

Dalam diskusi tentang Distribusi binomial di bagian 1.2, kami menggunakan generik
syarat keberhasilan dan kegagalan untuk kategori hasil. Untuk mata pelajaran di baris 1, biarkan π1
menunjukkan Probabilitas keberhasilan, sehingga 1 − π1 adalah probabilitas kegagalan. Untuk
subjek di baris 2, biarkan π2 menunjukkan Probabilitas keberhasilan. Ini bersyarat
probabilitas.
Probabilitas keberhasilan dalam membandingkan perbedaan proporsi π1 − π2
dua baris. Perbedaan ini jatuh antara –1 dan 1. Itu sama dengan nol bila π1 = π2,
, ketika respon independen dari klasifikasi kelompok. Biarkan p1 dan p2
menunjukkan proporsi contoh keberhasilan. Sampel perbedaan p1 − p2 memperkirakan
π1 − π2.
untuk kesederhanaan, kami menunjukkan ukuran sampel untuk dua kelompok (yaitu baris
Total n1 dan n2) dengan n1, n2. Bila dianggap dalam dua baris sudah independen
binomial sampel, kesalahan standar perkiraan p1 − p2 adalah
SE =

p1(1 − p1)
n1
p2(1 − p2)
n2
(2.1)
kesalahan standar menurun, dan karenanya meningkatkan perkiraan π1 − π2, sebagai
sampel ukuran peningkatan.
Interval kepercayaan % (Wald) (1 − α) besar-sampel 100 untuk π1 − π2
(p1 − p2) ± zα/2 (SE)
untuk sampel kecil kemungkinan cakupan aktual lebih dekat kepada kepercayaan nominal
tingkat jika Anda menambahkan 1.0 untuk setiap sel tabel 2 × 2 sebelum menerapkan ini formula.1 untuk
tes signifikansi H0: π1 = π2, z uji statistik membagi (p1 − p2) oleh terkumpul
SE yang berlaku di bawah H0. Karena z2 Statistik Khi-kuadrat Pearson disajikan
dalam bagian 2.4.3, kita tidak akan membahas ini di sini tes.
2.2.2 Contoh: Aspirin dan serangan jantung
tabel 2.3 adalah dari sebuah laporan pada hubungan antara penggunaan aspirin dan infark miokard
miokard (serangan jantung) oleh Physicians' kesehatan kelompok studi penelitian di Harvard tabel 2.3. Cross klasifikasi penggunaan Aspirin dan
infark miokard
Infark miokard
grup ya ada Total
plasebo 189 10,845 11, 034
Aspirin 104 10,933 11, 037
sumber: laporan Pendahuluan: temuan dari komponen Aspirin
berkelanjutan dokter Health Study. Baru Engl. J. Med., 318: 262-264,
1988.
Medical School. Physicians' Health Study itu lima tahun studi acak tes-ing Apakah reguler asupan aspirin mengurangi kematian dari penyakit kardiovaskular.
setiap hari, dokter laki-laki yang berpartisipasi dalam studi mengambil aspirin satu baik
tablet atau plasebo. Studi "buta"-dokter dalam penelitian tidak tahu
jenis pil mereka mengambil.
Kami memperlakukan dua baris dalam tabel 2.3 sebagai sampel binomial independen. Dari n1 =
11,034 dokter mengambil plasebo, 189 menderita infark miokard (MI) selama
belajar, proporsi p1 = 189/11,034 = 0.0171. Dari n2 = 11,037 dokter
mengambil aspirin, 104 menderita MI, proporsi p2 = 0.0094. Perbedaannya sampel
proporsi adalah 0.0171 − 0.0094 = 0.0077. Dari persamaan (2.1), perbedaan ini memiliki
kesalahan standar perkiraan
SE =

(0.0171) (0.9829)
11, 034 (0.0094) (0.9906)
11, 037 = 0.0015
interval keyakinan 95% untuk benar perbedaan π1 − π2 adalah 0.0077 ± 1,96 (0.0015),
yang merupakan 0.008 ± 0.003, atau (0.005, 0.011). Karena interval ini berisi hanya positif
nilai-nilai, kami menyimpulkan bahwa π1 − π2 mengatakan 0, yaitu π1 mengatakan π2. Untuk laki-laki, minum aspirin
tampaknya mengakibatkan berkurangnya risiko serangan jantung.
2.2.3 risiko relatif
perbedaan antara dua proporsi ukuran tetap tertentu biasanya lebih penting
ketika kedua proporsi yang dekat 0 atau 1 daripada ketika mereka berada di tengah-tengah rentang.
mempertimbangkan perbandingan dari dua obat persentase subyek yang telah merugikan
reaksi dengan menggunakan obat. Perbedaan antara 0.010 dan 0.001 adalah sama
sebagai perbedaan antara 0.410 dan 0.401, yaitu 0.009. Perbedaan pertama lebih
mencolok, sejak 10 kali lebih banyak pelajaran memiliki reaksi yang merugikan dengan satu obat sebagai
lainnya. Dalam kasus tersebut, rasio proporsi adalah lebih relevan deskriptif mengukur.
untuk 2 × 2 tabel, risiko relatif adalah rasio
risiko relatif = π1
π2(2.2)