By requiring the compatibility of t

By requiring the compatibility of the horizontal and vertical switch, we derive a mapping which we call: generalized sine-Gordon equation. To our knowledge, the study of a well-known integrable system from the point of view of dynamics and bifurcations has not been extensively perform.
We begin with formulating a generalized sine-Gordon equation, by introducing eight
parameters into the Lax-pair matrices. By analyzing the so-called compatibility condition (or commutativity of the multiplication of the matrices), we derive a system of two algebraic homogeneous equations, which can be viewed as system of linear equations. Then we have two possibility: the space of solutions of the system of homogeneous equations is one or two dimensional. In this paper, we restrict our self to consider only the latter. By doing this, we can reduce the number of parameter in the system to three.
Using the so-called staircase method (see [3]), we derive an ordinary discrete integrable dynamical system, with three parameters. Further reduction to the number of parameters in the system, can be done by analyzing the integrals of the discrete system. For the case studies where the dimension of the phase space of the discrete system is two or three, we derive seven functions which contain the dynamics for all value of parameter. By analyzing the level sets of these functions, we derive some conclusion on the dynamics and bifurcations in the system.

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

Dengan mengharuskan kompatibilitas saklar horisontal dan vertikal, kami memperoleh pemetaan yang kita sebut: generalized sinus-Gordon persamaan. Untuk pengetahuan kita, studi sistem integrable yang terkenal dari sudut pandang dinamika dan bifurcations telah tidak telah secara ekstensif melakukan.Kita mulai dengan merumuskan persamaan umum sinus-Gordon, dengan memperkenalkan delapanparameter ke dalam matriks Lax-pasangan. Dengan menganalisis kondisi apa yang disebut kompatibilitas (atau commutativity perkalian matriks), kami memperoleh sistem dua persamaan homogen aljabar, yang dapat dilihat sebagai sistem persamaan linear. Maka kita memiliki dua kemungkinan: ruang solusi sistem persamaan homogen adalah satu atau dua dimensi. Dalam tulisan ini, kami membatasi diri kita untuk mempertimbangkan hanya yang terakhir. Dengan melakukan ini, kita dapat mengurangi jumlah parameter dalam sistem ke tiga.Menggunakan metode tangga disebut (Lihat [3]), kami memperoleh biasa diskrit integrable dinamik sistem, dengan tiga parameter. Lebih lanjut pengurangan jumlah parameter dalam sistem, dapat dilakukan dengan menganalisis integral dari sistem diskrit. Untuk studi kasus dimana dimensi ruang fase sistem diskrit dua atau tiga, kami memperoleh tujuh fungsi yang mengandung dinamika untuk semua nilai parameter. Dengan menganalisis set tingkat fungsi-fungsi ini, kita memperoleh beberapa kesimpulan pada dinamika dan bifurcations dalam sistem.

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

Dengan membutuhkan kompatibilitas saklar horizontal dan vertikal, kita memperoleh pemetaan yang kita sebut: persamaan umum sinus-Gordon. Untuk pengetahuan kita, studi tentang sistem terintegral terkenal dari sudut pandang dinamika dan bifurcations belum secara ekstensif melakukan.
Kami mulai dengan merumuskan persamaan sine-Gordon umum, dengan memperkenalkan delapan
parameter ke dalam matriks Lax-pair. Dengan menganalisis apa yang disebut kondisi kompatibilitas (atau komutatif perkalian matriks), kita memperoleh suatu sistem dua persamaan homogen aljabar, yang dapat dilihat sebagai sistem persamaan linear. Kemudian kita memiliki dua kemungkinan: ruang solusi dari sistem persamaan homogen adalah satu atau dua dimensi. Dalam tulisan ini, kita membatasi diri kita untuk mempertimbangkan hanya yang terakhir. Dengan melakukan ini, kita dapat mengurangi jumlah parameter dalam sistem untuk tiga.
Dengan menggunakan metode tangga disebut (lihat [3]), kita memperoleh suatu sistem dinamik terintegral diskrit biasa, dengan tiga parameter. Pengurangan lebih lanjut untuk jumlah parameter dalam sistem, dapat dilakukan dengan menganalisis integral dari sistem diskrit. Untuk studi kasus di mana dimensi ruang fase dari sistem diskrit adalah dua atau tiga, kita memperoleh tujuh fungsi yang berisi dinamika untuk semua nilai parameter. Dengan menganalisis set tingkat fungsi-fungsi ini, kita memperoleh beberapa kesimpulan pada dinamika dan bifurcations dalam sistem.