Julia setFrom Wikipedia, the free e

Julia set
From Wikipedia, the free encyclopedia


A Julia set
File:Julia set 3d slice animation.ogg

Three-dimensional slices through the (four-dimensional) Julia set of a function on the quaternions.
In the context of complex dynamics, a topic of mathematics, the Julia set and the Fatou set are two complementary sets defined from a function. Informally, the Fatou set of the function consists of values with the property that all nearby values behave similarly under repeated iteration of the function, and the Julia set consists of values such that an arbitrarily small perturbation can cause drastic changes in the sequence of iterated function values. Thus the behavior of the function on the Fatou set is 'regular', while on the Julia set its behavior is 'chaotic'.
The Julia set of a function f is commonly denoted J(f), and the Fatou set is denoted F(f).[1] These sets are named after the French mathematicians Gaston Julia[2] and Pierre Fatou[3] whose work began the study of complex dynamics during the early 20th century.
Contents [hide]
1 Formal definition
2 Equivalent descriptions of the Julia set
3 Properties of the Julia set and Fatou set
4 Examples
5 Quadratic polynomials
6 Examples of Julia sets
7 Generalizations
8 The potential function and the real iteration number
9 Field lines
10 Distance estimation
11 Plotting the Julia set
11.1 Using backwards (inverse) iteration (IIM)
11.2 Using DEM/J
12 See also
13 References
14 External links
Formal definition[edit]

Let f(z) be a complex rational function from the plane into itself, that is, f(z) = p(z)/q(z), where p(z) and q(z) are complex polynomials. Then there are a finite number of open sets F1, ..., Fr, that are left invariant by f(z) and are such that:
the union of the Fi's is dense in the plane and
f(z) behaves in a regular and equal way on each of the sets Fi.
The last statement means that the termini of the sequences of iterations generated by the points of Fi are either precisely the same set, which is then a finite cycle, or they are finite cycles of circular or annular shaped sets that are lying concentrically. In the first case the cycle is attracting, in the second it is neutral.
These sets Fi are the Fatou domains of f(z), and their union is the Fatou set F(f) of f(z). Each of the Fatou domains contains at least one critical point of f(z), that is, a (finite) point z satisfying f'(z) = 0, or z = ∞, if the degree of the numerator p(z) is at least two larger than the degree of the denominator q(z), or if f(z) = 1/g(z) + c for some c and a rational function g(z) satisfying this condition.
The complement of F(f) is the Julia set J(f) of f(z). J(f) is a nowhere dense set (it is without interior points) and an uncountable set (of the same cardinality as the real numbers). Like F(f), J(f) is left invariant by f(z), and on this set the iteration is repelling, meaning that |f(z) - f(w)| > |z - w| for all w in a neighbourhood of z (within J(f)). This means that f(z) behaves chaotically on the Julia set. Although there are points in the Julia set whose sequence of iterations is finite, there are only a countable number of such points (and they make up an infinitely small part of the Julia set). The sequences generated by points outside this set behave chaotically, a phenomenon called deterministic chaos.
There has been extensive research on the Fatou set and Julia set of iterated rational functions, known as rational maps. For example, it is known that the Fatou set of a rational map has either 0,1,2 or infinitely many components.[4] Each component of the Fatou set of a rational map can be classified into one of four different classes.[5]
Equivalent descriptions of the Julia set[edit]

J(f) is the smallest closed set containing at least three points which is completely invariant under f.
J(f) is the closure of the set of repelling periodic points.
For all but at most two points z ∈ X, the Julia set is the set of limit points of the full backwards orbit igcup_n f^{-n}(z). (This suggests a simple algorithm for plotting Julia sets, see below.)
If f is an entire function, then J(f) is the boundary of the set of points which converge to infinity under iteration.
If f is a polynomial, then J(f) is the boundary of the filled Julia set; that is, those points whose orbits under iterations of f remain bounded.
Properties of the Julia set and Fatou set[edit]

The Julia set and the Fatou set of f are both completely invariant under iterations of the holomorphic function f:[6]
f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f)
f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f)
Examples[edit]

For f(z) = z^{2} the Julia set is the unit circle and on this the iteration is given by doubling of angles (an operation that is chaotic on the points whose argument is not a rational fraction of 2pi). There are two Fatou domains: the interior and the exterior of the circle, with iteration towards 0 and ∞, respectively.
For f(z) = z^{2} - 2 the Julia set is the line segment between −2 and 2. There is one Fatou domain: the points not on the line segment iterate towards ∞. (Apart from a shift and scaling of the domain, this iteration is equivalent to x o 4(x - frac{1}{2})^{2} on the unit interval, which is commonly used as an example of chaotic system.)
These two functions are of the form z^2 + c, where c is a complex number. For such an iteration the Julia set is not in general a simple curve, but is a fractal, and for some values of c it can take surprising shapes. See the pictures below.


Julia set (in white) for the rational function associated to Newton's method for f : z→z3−1. Coloring of Fatou set according to attractor (the roots of f)
For some functions f(z) we can say beforehand that the Julia set is a fractal and not a simple curve. This is because of the following result on the iterations of a rational function:
Theorem. Each of the Fatou domains has the same boundary, which consequently is the Julia set.
This means that each point of the Julia set is a point of accumulation for each of the Fatou domains. Therefore, if there are more than two Fatou domains, each point of the Julia set must have points of more than two different open sets infinitely close, and this means that the Julia set cannot be a simple curve. This phenomenon happens, for instance, when f(z) is the Newton iteration for solving the equation zn = 1 for n > 2:
f(z) = z - frac{f(z)}{f'(z)} = frac{1 + (n-1)z^n}{nz^{n-1}}.
The image on the right shows the case n = 3.
Quadratic polynomials[edit]

A very popular complex dynamical system is given by the family of quadratic polynomials, a special case of rational maps. The quadratic polynomials can be expressed as
f_c(z) = z^2 + c
where c is a complex parameter.

Filled Julia set for fc, c=1−φ where φ is the golden ratio



Julia set for fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i



Julia set for fc, c=0.285+0i



Julia set for fc, c=0.285+0.01i



Julia set for fc, c=0.45+0.1428i



Julia set for fc, c=-0.70176-0.3842i



Julia set for fc, c=-0.835-0.2321i



Julia set for fc, c=-0.8+0.156i



A Julia set plot showing Julia sets for different values of c; it resembles the Mandelbrot set
The parameter plane of quadratic polynomials - that is, the plane of possible c-values - gives rise to the famous Mandelbrot set. Indeed, the Mandelbrot set is defined as the set of all c such that J(f_c) is connected. For parameters outside the Mandelbrot set, the Julia set is a Cantor space: in this case it is sometimes referred to as Fatou dust.
In many cases, the Julia set of c looks like the Mandelbrot set in sufficiently small neighborhoods of c. This is true, in particular, for so-called 'Misiurewicz' parameters, i.e. parameters c for which the critical point is pre-periodic. For instance:
At c = i, the shorter, front toe of the forefoot, the Julia set looks like a branched lightning bolt.
At c = −2, the tip of the long spiky tail, the Julia set is a straight line segment.
In other words the Julia sets J(f_c) are locally similar around Misiurewicz points.[7]
Examples of Julia sets[edit]


f(z) = z2 + 0.279


f(z) = z3 + 0.400


f(z) = z4 + 0.484


f(z) = z5 + 0.544


f(z) = z6 + 0.590


f(z) = z7 + 0.626


f(z) = exp(z) - 0.65


f(z) = exp(z3) - 0.59


f(z) = exp(z3) - 0.621


f(z) = z * exp(z) + 0.04


f(z) = z2 * exp(z) + 0.21


f(z) = z3 * exp(z) + 0.33


f(z) = z4 * exp(Z) + 0.41


f(z) = Sqr[Sinh(z2)] + (0.065,0.122i)


f(z) = [(z2+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)
Generalizations[edit]

The definition of Julia and Fatou sets easily carries over to the case of certain maps whose image contains their domain; most notably transcendental meromorphic functions and Adam Epstein's finite-type maps.
Julia sets are also commonly defined in the study of dynamics in several complex variables.
The potential function and the real iteration number[edit]

The Julia set for f(z) = z^{2} is the unit circle, and on the outer Fatou domain, the potential function φ(z) is defined by φ(z) = log|z|. The equipotential lines for this function are concentric circles. As |f(z)| = |z|^{2} we have
varphi(z) = lim_{k oinfty} frac{log|z_k|}{2^k},
where z_k is the sequence of iteration generated by z. For the more general iteration f(z) = z^2 + c, it has been proved that if the Julia set is connected (that is, if c belongs to the (usual) Mandelbrot set), then there exist a biholomorphic map ψ between the outer Fatou domain and the outer of the unit circle such that |psi(f(z))| = |psi(z)|^{2}.[8] This means that the potential function on the outer Fatou domain defined by this correspondence is given by:
varphi(z) = lim_{k oinfty} frac{log|z_k|}{2^k}.
This formula has meaning also if the Julia set is not connected, so that we for all c can define the potential function on the Fatou domain containing ∞ by this formula. For a general rational function f(z) such that ∞ is a critical point and a fixed point, that is, such that the degree m of the numerator is at least two larger than the degree n

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

julia set
dari wikipedia, ensiklopedia bebas



set julia berkas:. julia set 3d slice animation.ogg

irisan tiga dimensi melalui (empat dimensi) julia set fungsi pada quaternions
di konteks dinamika yang kompleks, topik matematika, himpunan julia dan set fatou dua set melengkapi didefinisikan dari fungsi. informal,set fatou fungsi terdiri dari nilai dengan properti bahwa semua nilai sekitar berperilaku sama di bawah iterasi berulang fungsi, dan set julia terdiri dari nilai-nilai tersebut bahwa gangguan sewenang-wenang kecil dapat menyebabkan perubahan drastis dalam urutan nilai fungsi iterasi. sehingga perilaku fungsi di set fatou adalah 'reguler',sementara di julia mengatur perilakunya adalah 'kacau'.
set julia dari fungsi f biasanya dilambangkan j (f), dan set fatou dinotasikan f (f) [1] set ini. diberi nama setelah matematikawan Perancis gaston julia [2] dan pierre fatou [3] yang karyanya mulai mempelajari dinamika yang kompleks selama awal abad ke-20.
Isi [hide]
1 definisi formal
2 deskripsi setara dengan set julia
3 sifat dari himpunan julia dan fatou set

4 contoh 5 polinomial kuadrat
6 contoh julia set

7 generalisasi 8 potensi fungsi dan jumlah iterasi nyata
9 garis-garis medan
10
11 estimasi jarak merencanakan set julia
11.1 menggunakan mundur (terbalik) iterasi (iim)
11.2 menggunakan mereka / j
12
13 lihat juga referensi
14
link eksternal definisi formal [sunting]

biarkan f (z) adalah fungsi rasional yang kompleks dari pesawat ke dalam dirinya, yaitu, f (z) = p (z) / q (z), dimana p (z) dan q (z) adalah polinomial kompleks. maka ada jumlah terbatas terbuka set f1, ..., fr, yang tersisa invarian oleh f (z) dan sedemikian rupa sehingga:
persatuan fi adalah padat dalam pesawat dan
f (z) berperilaku dalam cara teratur dan sama pada masing-masing set fi.
pernyataan terakhir berarti bahwa termini dari urutan iterasi yang dihasilkan oleh titik-titik fi yang baik justru set yang sama, yang kemudian siklus terbatas, atau mereka adalah siklus terbatas set berbentuk lingkaran atau annular yang tergeletak konsentris. dalam kasus pertama siklus ini menarik, di babak kedua itu adalah netral.
set ini fi adalah domain fatou dari f (z),dan serikat mereka adalah fatou set f (f) dari f (z). masing-masing domain fatou berisi setidaknya satu titik kritis dari f (z), yaitu, (terbatas) titik z memuaskan f '(z) = 0, atau z = ∞, jika tingkat pembilang p (z) setidaknya dua lebih besar daripada tingkat penyebut q (z), atau jika f (z) = 1 / g (z) c untuk beberapa c dan fungsi rasional g (z) memenuhi kondisi ini.
komplemen dari f (f) adalah julia set j (f) dari f (z). j (f) adalah satu set tempat padat (itu tanpa poin interior) dan set terhitung (dari kardinalitas yang sama dengan bilangan real). seperti f (f), j (f) yang tersisa invarian oleh f (z), dan di set ini iterasi memukul mundur, yang berarti bahwa | f (z) - f (w) |> | z - w | untuk semua w di lingkungan z (dalam j (f)).ini berarti bahwa f (z) berperilaku berantakan di set julia. meskipun ada poin di set julia yang urutan iterasi terbatas, hanya ada sejumlah dihitung dari titik-titik tersebut (dan mereka membentuk bagian yang sangat kecil dari himpunan julia). urutan yang dihasilkan oleh titik-titik di luar himpunan ini berperilaku berantakan, fenomena yang disebut kekacauan deterministik.
telah ada penelitian yang luas pada set fatou dan julia set fungsi rasional iterasi, yang dikenal sebagai peta rasional. misalnya, diketahui bahwa himpunan fatou dari peta rasional memiliki baik 0,1,2 atau jauh lebih banyak komponen. [4] masing-masing komponen dari himpunan fatou dari peta rasional dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu dari empat kelas yang berbeda. [ 5]
deskripsi setara dengan set julia [sunting]

j (f) adalah yang terkecil ditutup set yang berisi setidaknya tiga titik yang benar-benar invarian dalam f.
j (f) adalah penutupan himpunan memukul mundur poin periodik.
untuk semua tapi paling banyak dua poin z ∈ x, yang julia set adalah himpunan batas poin dari orbit mundur penuh bigcup_n f
{-n} (z). (Ini menunjukkan sebuah algoritma sederhana untuk merencanakan julia set, lihat di bawah.)
Jika f adalah fungsi secara keseluruhan,maka j (f) adalah batas dari himpunan titik-titik yang menyatu hingga tak terbatas di bawah iterasi
jika f polinomial, maka j (f) adalah batas dari himpunan julia diisi,. yaitu, titik-titik yang mengorbit di bawah iterasi f tetap dibatasi.
sifat dari himpunan julia dan fatou set [sunting]

set julia dan set fatou f keduanya benar-benar berubah dalam iterasi dari fungsi holomorphic f: [6]

f {-1} (j (f)) = f (j (f)) = j (f)

f {-1} (f (f)) = f (f (f)) = f (f)
contoh [sunting]

untuk f (z) = z
{2} himpunan julia adalah unit lingkaran dan iterasi ini diberikan oleh dua kali lipat dari sudut (operasi yang kacau pada titik-titik yang argumen bukanlah pecahan rasional dari 2 pi).ada dua fatou domain: interior dan eksterior lingkaran, dengan iterasi terhadap 0 dan ∞, masing-masing
untuk f (z) = z
{2} - 2 set julia adalah segmen garis antara -2 dan 2. . ada satu domain fatou: poin tidak pada segmen garis iterate menuju ∞. (Terlepas dari pergeseran dan skala dari domain, iterasi ini setara dengan ke 4 (x - x tfrac {1} {2})
{2} pada unit selang, yang umum digunakan sebagai contoh sistem yang kacau.)
Kedua fungsi dari bentuk z
2 c, di mana c adalah bilangan kompleks. untuk iterasi seperti set julia tidak secara umum kurva sederhana, tetapi merupakan fraktal, dan untuk beberapa nilai c dapat mengambil bentuk mengejutkan. lihat gambar di bawah ini.


julia set (putih) untuk fungsi rasional terkait dengan metode newton untuk f: z → z3-1. mewarnai fatou diatur sesuai dengan attractor (akar f)
untuk beberapa fungsi f (z) kita dapat mengatakan sebelumnya bahwa set julia adalah kurva sederhana fraktal dan tidak. ini adalah karena hasil sebagai berikut pada iterasi dari fungsi rasional:
teorema. masing-masing domain fatou memiliki batas yang sama,yang akibatnya adalah himpunan julia.
ini berarti bahwa setiap titik dari himpunan julia adalah titik akumulasi untuk setiap domain fatou. Oleh karena itu, jika ada lebih dari dua fatou domain, setiap titik dari himpunan julia harus memiliki poin lebih dari dua set terbuka berbeda jauh dekat, dan ini berarti bahwa himpunan julia tidak bisa menjadi kurva sederhana. fenomena ini terjadi, misalnya,ketika f (z) adalah iterasi newton untuk memecahkan persamaan zn = 1 untuk n> 2:
f (z) = z - frac {f (z)} {f '(z)} = frac {1 ( n-1) z
n} {nz
{n-1}}.
gambar di sebelah kanan menunjukkan kasus n = 3.
polinomial kuadrat [sunting]

sistem dinamik yang sangat populer kompleks diberikan oleh keluarga polinomial kuadrat, kasus khusus dari peta rasional. polinomial kuadrat dapat dinyatakan sebagai
f_c (z) = z
2 c
di mana c adalah parameter yang kompleks.

Diisi julia set untuk fc, c = 1-φ φ mana adalah rasio emas



julia ditetapkan untuk fc, c = (φ-2) (φ-1) i = -0.4 0.6i



julia ditetapkan untuk fc, c = 0.285 0I



julia ditetapkan untuk fc, c = 0.285 0.01i



julia ditetapkan untuk fc, c = 0,45 0.1428i



julia ditetapkan untuk fc, c =-0,70176-0.3842i



julia set untuk fc, c =-0.835-0.2321i



julia ditetapkan untuk fc, c = -0.8 0.156i



satu set petak julia menampilkan julia set untuk berbagai nilai c, menyerupai himpunan Mandelbrot
parameter bidang polinomial kuadrat - yaitu, pesawat kemungkinan c-nilai - menimbulkan set Mandelbrot yang terkenal. memang, himpunan Mandelbrot didefinisikan sebagai himpunan semua c sehingga j (f_c) terhubung. untuk parameter luar himpunan Mandelbrot, himpunan julia adalah ruang penyanyi:dalam hal ini kadang-kadang disebut sebagai fatou debu.
dalam banyak kasus, julia set c tampak seperti set Mandelbrot di lingkungan yang cukup kecil c. ini benar, khususnya, untuk disebut parameter 'misiurewicz', yaitu parameter c yang titik kritis adalah pra-periodik. misalnya:
at c = i, semakin pendek, kaki depan kaki depan,set julia terlihat seperti petir bercabang.
di c = -2, ujung ekor runcing panjang, set julia adalah segmen garis lurus.
dengan kata lain julia set j (f_c) secara lokal serupa di seluruh misiurewicz poin [7]
contoh julia set [sunting]


f (z) = z2 0,279


f (z) = 0.400 z3


f (z) = z4 0.484


f (z). = z5 0,544


f (z) = z6 0,590


f (z) = 0,626 Z7


f (z) = exp (z) - 0,65


f (z) = exp (z3) - 0,59


f (z) = exp (z3) - 0,621


f (z) = z * exp (z) 0,04


f (z) = z2 * exp (z) 0,21


f (z) = z3 * exp (z) 0,33


f (z) = z4 * exp (z) 0,41


f (z) = sqr [sinh (z2)] (0.065,0.122 i)


f (z) = [(z2 z) / ln (z)] (0.268,0.060 i)
generalisasi [sunting]

definisi julia dan fatou set dengan mudah membawa ke kasus peta tertentu yang gambar berisi domain;. meromorphic fungsi terutama transendental dan terbatas-jenis peta adam epstein ini
julia set juga sering didefinisikan dalam studi dinamika di beberapa kompleks variabel.
potensi fungsi dan jumlah iterasi nyata [sunting]

set julia untuk f (z) = z
{2} adalah lingkaran satuan, dan pada fatou domain luar, potensi fungsi φ (z) didefinisikan oleh φ (z) = log | z |. garis ekipotensial untuk fungsi ini adalah lingkaran konsentris. sebagai | f (z) | = | z |
{2} kita memiliki
varphi (z) = lim_ {k ke infty} frac { log | z_k |} {2
k},
mana z_k adalah urutan iterasi yang dihasilkan oleh z. untuk iterasi lebih umum f (z) = z
2 c,telah terbukti bahwa jika set julia terhubung (yaitu, jika c milik (biasa) Mandelbrot set), maka terdapat peta biholomorphic ψ antara fatou domain luar dan luar unit lingkaran sedemikian rupa sehingga | psi (f (z)) | = | psi (z) |
{2} [8] ini berarti bahwa fungsi potensial pada fatou domain luar didefinisikan oleh korespondensi ini diberikan oleh:.
Varphi (z) = lim_ {k ke infty} frac { log | z_k |} {2
k}.
Formula ini juga memiliki makna jika set julia tidak terhubung, sehingga kita untuk semua c dapat menentukan fungsi potensial pada domain fatou mengandung ∞ dengan rumus ini. untuk umum fungsi rasional f (z) sedemikian rupa sehingga ∞ adalah titik kritis dan titik tetap, yaitu,sehingga m derajat pembilang adalah setidaknya dua lebih besar dari derajat n

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

Julia mengatur
dari Wikipedia, ensiklopedia


Julia mengatur
File: Julia mengatur 3d slice animation.ogg

tiga dimensi iris melalui set Julia (empat dimensi) fungsi pada quaternions.
dalam konteks dinamika yang kompleks, topik matematika, Julia set dan kumpulan Fatou adalah dua set pelengkap dari fungsi. Informal, Fatou set fungsi terdiri dari nilai-nilai dengan properti semua nilai terdekat berperilaku demikian pula di bawah berulang iterasi fungsi, dan Julia terdiri dari nilai-nilai sedemikian rupa sehingga gangguan kecil dapat menyebabkan perubahan drastis dalam urutan nilai-nilai fungsi iterated. Dengan demikian perilaku fungsi pada Fatou set 'biasa', Sementara di Julia set perilaku 'kacau'.
The Julia set fungsi f adalah biasanya menandakan J(f), dan Fatou set dilambangkan F(f).[1] Set ini dinamakan sempena para matematikawan Perancis Gaston Julia [2] dan Pierre Fatou [3] yang karyanya mulai studi tentang dinamika yang kompleks selama 20 awal abad.
isi [hide]
1 definisi Formal
2 setara Deskripsi Julia mengatur
3 Sifat Julia set dan menetapkan Fatou
4 contoh
5 kuadrat polinomial
6 set contoh Julia
7 generalisasi
8 fungsi potensial dan jumlah iterasi nyata
9 bidang baris
estimasi jarak 10
11 merencanakan Julia set
11.1 menggunakan mundur (invers) iterasi (IIM)
11.2 menggunakan DEM/J
12 Lihat juga
13 referensi
14 Pranala luar
definisi Formal [sunting]

Biarkan f(z) menjadi fungsi rasional yang kompleks dari pesawat ke dalam dirinya, yaitu f(z) = p(z)/q(z), di mana p(z) dan q(z) yang kompleks polinomial. Lalu ada sejumlah terbatas terbuka set F1,..., Fr, yang tersisa invarian oleh f(z) dan sedemikian rupa sehingga:
Uni Fi padat di pesawat and
f(z) berperilaku dalam cara yang teratur dan sama pada setiap set Fi.
Pernyataan terakhir berarti bahwa termini daripada urutan-urutan iterasi yang dihasilkan oleh titik-titik Fi yang baik tepat sama diatur, yang kemudian adalah sebuah siklus yang terbatas, atau mereka terbatas siklus melingkar atau annulus berbentuk set yang sedang berbaring secara konsentris. Dalam kasus pertama siklus adalah menarik, di kedua itu adalah netral.
Fi set ini adalah domain Fatou yang f(z), dan kesatuan mereka Fatou set F(f) dari f(z). Setiap domain Fatou berisi setidaknya satu titik kritis dari f(z), yaitu (terbatas) titik z memuaskan f'(z) = 0, atau z = ∞, jika tingkat p(z) pembilang setidaknya dua yang lebih besar dari tingkat q(z) penyebut, atau jika f(z) = 1/g(z) c untuk c beberapa dan g(z) fungsi rasional yang memuaskan kondisi ini.
Pelengkap F(f) adalah Julia menetapkan J(f) dari f(z). J(f) adalah satu set tempat padat (itu adalah tanpa interior poin) dan terhitung set (cardinality sama sebagai bilangan real). Seperti F(f), J(f) yang ditinggalkan invarian oleh f(z), dan di set ini iterasi tolak-menolak, berarti bahwa |f(z) - f (w) | mengatakan |z - w| untuk semua w di lingkungan z (dalam J(f)). Ini berarti bahwa f(z) berperilaku berantakan di Julia set. Meskipun ada poin di set Julia yang urutan iterasi terbatas, ada hanya sejumlah dihitung poin tersebut (dan mereka membuat sebagian kecil jauh set Julia). Urutan-urutan yang dihasilkan oleh poin di luar set ini berperilaku berantakan, sebuah fenomena yang disebut kekacauan deterministik.
Ada penelitian yang luas pada Fatou set dan Julia set iterated fungsi rasional, dikenal sebagai peta rasional. Sebagai contoh, diketahui bahwa set Fatou peta rasional memiliki 0,1,2 atau sangat jauh lebih banyak komponen.[4] Setiap komponen set Fatou peta rasional dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu dari empat kelas yang berbeda.[5]
Setara Deskripsi Julia mengatur [sunting]

J(f) adalah terkecil tertutup set yang mengandung setidaknya tiga poin yang benar-benar invarian di bawah f.
J(f) adalah penutupan set tolak-menolak periodik poin.
untuk semua tapi paling dua titik z ∈ X, Julia set adalah seperangkat batas poin penuh mundur orbit igcup_n f
{-n}(z). (Ini menyarankan algoritma sederhana untuk merencanakan Julia set, lihat di bawah.)
Jika f adalah seluruh fungsi, maka J(f) adalah batas set poin yang menyatu ke infinity di bawah iterasi.
jika f polinomial, maka J(f) adalah batas set Julia diisi; itu adalah, titik-titik tersebut orbit-orbit yang di bawah iterasi f tetap Berikat.
menetapkan sifat Julia dan Fatou menetapkan [sunting]

Julia set dan kumpulan Fatou f keduanya benar-benar invarian di bawah iterasi dari f fungsi holomorphic: [6]
f
{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f)
f
{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F (f)
contoh [sunting]

untuk f(z) = z
{2} Julia mengatur adalah unit circle dan ini iterasi diberikan oleh dua kali lipat dari sudut (operasi yang kacau pada poin yang argumen ini tidak rasional sebagian kecil dari 2pi). Ada dua Fatou domain: interior dan eksterior circle, dengan iterasi menuju 0 dan ∞, masing-masing.
untuk f(z) = z
{2}-2 Julia mengatur adalah segmen garis antara −2 dan 2. Ada satu domain Fatou: poin tidak pada segmen garis iterate menuju ∞. (terlepas dari pergeseran dan scaling domain, iterasi ini setara dengan x o 4(x- frac{1}{2})
(2) pada interval unit, yang umumnya digunakan sebagai contoh sistem kacau.)
Kedua fungsi adalah bentuk z
2 c, mana c adalah bilangan kompleks. Untuk seperti iterasi Julia set bukanlah pada umumnya kurva yang sederhana, tetapi merupakan fractal, dan untuk beberapa nilai c dapat mengambil bentuk yang mengejutkan. Lihat gambar di bawah ini.


Julia set (dalam putih) untuk fungsi rasional yang dikaitkan ke metode Newton untuk f: z→z3−1. Pewarnaan Fatou diatur sesuai penarik (akar f)
untuk beberapa fungsi f(z) kita dapat mengatakan sebelumnya bahwa Julia ditetapkan adalah fraktal dan tidak kurva yang sederhana. Hal ini karena hasil sebagai berikut pada iterasi dari fungsi rasional:
teorema. Masing-masing domain Fatou memiliki batas sama, Akibatnya itulah set Julia.
ini berarti bahwa setiap titik ditetapkan Julia akumulasi dari point untuk setiap domain Fatou. Oleh karena itu, jika ada lebih dari dua Fatou domain, setiap titik ditetapkan Julia harus memiliki poin lebih dari dua berbeda set terbuka jauh dekat, dan ini berarti bahwa Julia set tidak dapat kurva sederhana. Fenomena ini terjadi, misalnya, Ketika f(z) adalah iterasi Newton untuk memecahkan persamaan zn = 1 untuk n mengatakan 2:
f(z) = z - frac{f(z)}{f'(z)} = frac{1 (n-1) z
n} {nz
{n-1}}.
gambar di sebelah kanan menunjukkan kasus n = 3.
kuadrat polinomial [sunting]

sistem dinamik yang sangat populer kompleks diberikan oleh keluarga polinomial kuadrat, kasus khusus Maps rasional. Polinomial kuadrat dapat dinyatakan as
f_c(z) = z
2 c
mana c adalah parameter kompleks.

diisi Julia ditetapkan untuk fc, c = 1−φ mana φ adalah golden ratio



Julia ditetapkan untuk fc, c=(φ−2) (φ−1) saya =-0.4 0.6i



Julia ditetapkan untuk fc, c = 0.285 0i



Julia ditetapkan untuk fc, c = 0.285 0.01i



Julia ditetapkan untuk fc, c = 0,45 0.1428i



Julia ditetapkan untuk fc, c =-0.70176-0.3842i



Julia ditetapkan untuk fc, c =-0.835-0.2321i



Julia ditetapkan untuk fc, c =-0,8 0.156i



Julia mengatur plot menampilkan Julia set untuk nilai-nilai yang berbeda dari c; menyerupai Mandelbrot set
pesawat parameter kuadrat polinomial -, pesawat c-nilai yang mungkin - menimbulkan set Mandelbrot terkenal. Memang, Mandelbrot set didefinisikan sebagai himpunan semua c sehingga J(f_c) terhubung. Parameter di luar Mandelbrot set, Ruang Cantor adalah kumpulan Julia: dalam hal ini kadang-kadang dirujuk sebagai Fatou debu.
dalam banyak kasus, set Julia c tampak seperti Mandelbrot terletak di lingkungan yang cukup kecil c. Hal ini benar, khususnya, untuk apa yang disebut 'Misiurewicz' parameter, yaitu parameter c yang titik kritis pra-periodik. Misalnya:
c = i, pendek, depan ujung kaki depan, Julia set terlihat seperti baut bercabang Petir.
c = −2, ujung ekor panjang runcing, Julia set adalah segmen garis lurus.
kata lain Julia set J(f_c) lokal serupa di sekitar poin Misiurewicz.[7]
Contoh Julia sets[edit]


f(z) = z2 0.279


f(z) = z3 0.400


f(z) = z4 0.484


f(z) = z5 0.544


f(z) = z6 0.590


f(z) = z7 0.626


f(z) = exp(z) - 0,65


f(z) = exp(z3) - 0,59


f(z) = exp(z3) - 0.621


f(z) = z * exp(z) 0,04


f(z) = z2 * exp(z) 0,21


f(z) = z3 * exp(z) 0.33


f(z) = z4 * exp(Z) 0,41


f(z) = Sqr[Sinh(z2)] (0.065,0.122i)


f(z) = [(z2 z)/Ln(z)] (0.268,0.060i)
Generalizations[edit]

Definisi Julia dan Fatou set dengan mudah membawa atas kasus beberapa peta gambar yang berisi domain mereka; terutama transendental meromorphic fungsi dan Adam Epstein terbatas-jenis maps.
Julia set juga biasanya didefinisikan dalam studi tentang dinamika dalam beberapa variabel kompleks
fungsi potensial dan jumlah iterasi nyata [sunting]

The Julia ditetapkan untuk f(z) = z
(2) adalah unit lingkaran, dan di luar domain Fatou, φ(z) fungsi potensi didefinisikan oleh φ(z) = log|z|. Garis Ekipotensial untuk fungsi ini adalah lingkaran konsentris. Sebagai |f (z) | = |z|
{2} kami have
varphi(z) = lim_{k oinfty} frac{log|z_k|}{2
k},
dimana z_k adalah urutan iterasi yang dihasilkan oleh z. Untuk f(z) iterasi lebih umum = z
2 c, telah terbukti bahwa jika Julia menetapkan terhubung (yaitu jika c milik set Mandelbrot (biasa)), maka ada ψ peta biholomorphic antara domain Fatou luar dan luar lingkaran unit tersebut yang |psi(f(z)) | = |psi (z) |
{2}.[8] Ini berarti bahwa fungsi potensial pada domain Fatou luar didefinisikan oleh korespondensi ini diberikan oleh:
varphi(z) = lim_{k oinfty} frac{log|z_k|}{2
k}.
Formula ini mempunyai makna juga jika Julia set tidak terhubung, sehingga kita semua c dapat mendefinisikan fungsi potensial pada domain Fatou yang mengandung ∞ oleh formula ini. Untuk f(z) Umum fungsi rasional seperti ∞ itu adalah titik kritis dan titik tetap, yaitu, sehingga m gelar pembilang setidaknya dua yang lebih besar dari n derajat