Worthwhile problems and building ne

Worthwhile problems and building new knowledge
For students to really develop mathematical ways of thinking and number sense it is essential
for good worthwhile problems to be selected for the class program. A teacher needs not only
to select problems for which there are no immediate or obvious solutions but also to select
problems which will consolidate, extend and stimulate mathematical knowledge and
understandings.
When choosing problems for a particular mathematics classroom a teacher needs to thoroughly explore the problem and the possible mathematical ideas which can be brought by the students when working through the problem. In some cases it may be necessary to modify the problem to ensure particular mathematical ideas are enhanced or consolidated. There are many problems which are interesting and fun but at the end of the day the teacher needs to ask what mathematical thinking is being developed, stimulated, extended or consolidated by this problem.
Problem solving which is integral to the mathematics program and not an isolated activity should assist students to consolidate and extend their knowledge and understandings. Well chosen problems will give students the opportunity to clarify and come to terms with mathematical processes and understanding. For example, a problem regarding pet ownership could involve quite different mathematical processes and understandings depending on the age of the students. In an early year's classroom where the students are beginning to learn mathematical knowledge and understandings the problem might take the following focus:
gathering information—students might discuss, learn about and try some ways to gather information, for example asking peopie individually, a survey with pictures of animals or asking groups with a show of hands recording data— students might discuss, learn about and try a number of ways to record the information, for example counting and writing the number, using ten frames, tally marks, using tables to record the data displaying the results— students might learn what a picture graph is, how to use the data recorded and how to construct a picture graph In a middle year's classroom where students have more established mathematical knowledge and understandings the problem might take a quite different focus where previous work is revised and new learning is undertaken: gathering information—consolidation of how to gather information where surveys and interviews are revised recording data—consolidation of how to gather information where tables and tally marks are revised anaiysing data—students might discuss, learn about and try a number of ways to analyse data, for example finding averages and percentages on the results
1 displaying the results—students might discuss and learn what a bar graph and line graphs are and how to construct bar graphs and line graphs
Problems can integrate multiple topics and involve complex mathematics. The teacher's role in selecting worthwhile problems is important and at the centre of successful problem solving. Thinking about the mathematical ideas that can be consolidated and learnt through a particular problem helps build a balanced program where problem solving is at the fore.
When selecting problems a teacher needs to bear in mind what mathematical ideas will not only be consolidated but also enhanced. There are many problems that may be interesting and fun but may lead to very little new learning. While there is a place for these problems it is important that a wide range and variety of problems are solved.
Organising a problem solving program
One idea to assist teachers selecting and modify problems is to use a problem structure table. During the course of the year as problems are selected and used they are entered into the table to help the teachers see what sort of problems are being used. If a particular problem was successful it can be modified and have the context changed and used again at another time of the year. This would encourage students to think about previous problems and how they are solved as an important strategy when solving problems.
The table shown below can be used to help teachers to see the type of problems they are using and how often they are used. It is not meant to be the only way problems can be thought of but rather one way in which a teacher might think about problems. As teachers come to
terms with problem solving in their classrooms they may think of other ways of keeping track of the various types of problems and come up with their own recording and tracking tables.

An important aspect to developing a successful problem solving program is being able to establish a classroom environment in which problem solving is at the fore. Siemon (1998) has put together seven suggestion for creating a problem solving environment.
Suggestion 1: Problem solving should be integrated into the school mathematics program so that it becomes intimately associated with what it means to know, understand and use mathematics. For example, learr'ng about place value can and should be as much a negotiated problem solving experience as an investigation involving the collection, interpretation and presentation of data.
Suggestion 2: Recognise that children have different goals, motivations and expectations that are as much shaped by the classroom culture in which the mathematics teaching and learning occurs. For example, many children believe that mathematics is about 'doing sums quickly to get answers ... it doesn't have to make sense*. Such approaches need to be gently challenged and changed. The construction of meaning and the justification of procedures need to be emphasised and valued. One way of doing this is through assessment: 'one mark for the answer, nine for a sensible story which we can all understand'.
Suggestion 3: Develop a classroom culture in which students expect to elaborate, defend and amend or reject their ideas in a non-threatening, mutually supportive way. Value sense making and encourage students to recognise, develop and make connections between conceptual and procedural knowledge.
Suggestion 4: Recognise that whether a particular task is an exercise or a problem depends on the person(s) expected to engage with the task. Adopt an inquiry-based approach to everything that is considered in mathematics. Assume that everything is a problem until the whole group agrees that it is an exercise—a task where everyone knows what to do to arrive at a solution.
Suggestion 5: Establish classroom norms and processes which ensure that all students have the opportunity to contribute to a shared view about how an idea, exercise or problem might be modelled, described and recorded. Guide students to the most effective and generalisable forms .of representation. Talk about how different problems are alike and how they are different. Keep a classroom record of these discussions.
Suggestion 6: Recognise that problem solving is not something which can be defined, packaged and delivered to students. It is an experience that needs to be shared with others, discussed and acknowledged for what it is—a cyclical process that requires conscious monitoring and direction in much the same way as the creative writing process.
Suggestion 7: Choose materials, problems and games that provide opportunities to discuss mathematical ideas and how they might be represented and applied. Model problem solving behaviour. Engage in think aloud solution attempts and ask children to check your reasoning. Make mistakes to focus discussion on the value of checking and justifying one's thinking.
Solving problems
To gain a full understanding of problems and problem solving it is necessary to read problems, look at their structure and of course to solve problems. The following problem is based on one by Polya.
The Hockey Herons
Sally is a member of the local hockey team, the Hockey Herons. One of her responsibilities is to cut out articles and stories about the Herons from magazines and newspapers and put them into a scrapbook.
One day she dropped the scrapbook and all the pages fell out. Luckily, by noting the date of the articles and stories, she was able to put the pages back in order.
Sally decided to number all the pages of the scrapbook. She had a box of stickers and on each sticker was one of the digits 0-9. She used the stickers to number each page of the scrapbook starting with 1.
When Sally had finished, she noticed she had used 537 stickers. How many pages are in the scrapbook?
Students and adults attempting to solve this problem do so in a multitude of ways. Many simply divide by 2; as each page needs a number and as there is a number on the front and back of a page, dividing by 2 would give you the number of pages. These people have overlooked the information of one sticker for each digit, meaning a page number like 346 would need three stickers. Some take this information and think of the one-digit numbers and divide by 10, reasoning that as there are 10 digits dividing by 10 would give you the number of digits, thus overlooking the fact that the question does not ask for how many digits but how many pages.
Others take a more organised approach and use strategies such as organising the information into tables or lists, which can help in monitoring a guess and check approach. It can also lead to a solution process that focuses on the number of digits used for the pages with one-digit, two- digit, three-digit or four-digit page numbers. For example:
While identifying the response for the one-digit pages is easy, determining the number of pages containing two digits can be difficult. Three answers are commonly given, yet only one can be correct! Counting or examining a two-digit number board shows that there are 10 numbers for each decade (10-19, 20-29, 30-39, 40-49,...,) so there must be 90 numbers altogether and hence 180 stickers have been used.
An answer of 89 is frequently given because the student thinks 9

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

Masalah-masalah yang berharga dan pengetahuan baru bangunanBagi siswa untuk benar-benar mengembangkan matematika cara berpikir dan nomor rasa pentinguntuk masalah berharga baik yang dipilih untuk program kelas. Keperluan guru tidak hanyauntuk memilih masalah yang ada tidak ada solusi langsung atau jelas tetapi juga untuk memilihmasalah yang akan mengkonsolidasikan, memperluas dan merangsang pengetahuan matematika danpemahaman.Ketika memilih masalah untuk kelas tertentu matematika guru perlu menjelajahi secara teliti masalah dan ide-ide matematis kemungkinan yang bisa dibawa oleh para siswa ketika bekerja melalui masalah. Dalam beberapa kasus mungkin perlu mengubah masalah untuk memastikan ide-ide matematis tertentu ditingkatkan atau konsolidasi. Ada banyak masalah yang menarik dan menyenangkan tapi pada akhir hari guru perlu bertanya apa pemikiran matematis sedang dikembangkan, dirangsang, diperpanjang atau konsolidasi oleh masalah ini.Pemecahan masalah yang merupakan bagian integral untuk program matematika dan tidak terisolasi kegiatan harus membantu siswa untuk mengkonsolidasikan dan memperluas pengetahuan dan pemahaman mereka. Masalah-masalah yang dipilih dengan baik akan memberikan siswa kesempatan untuk memperjelas dan datang untuk berdamai dengan proses matematika dan pemahaman. Misalnya, masalah mengenai kepemilikan hewan peliharaan dapat melibatkan proses matematika yang sangat berbeda dan pemahaman tergantung pada usia siswa. Di awal tahun kelas dimana para siswa mulai belajar pengetahuan matematika dan pemahaman masalahnya mungkin mengambil fokus berikut:mengumpulkan informasi — siswa mungkin membahas, mempelajari dan mencoba beberapa cara untuk mengumpulkan informasi, misalnya meminta peopie secara individual, survei dengan gambar binatang atau meminta kelompok dengan mengacungkan tangan merekam data — siswa mungkin membahas, mempelajari dan mencoba berbagai cara untuk merekam informasi, misalnya menghitung dan menulis nomor, menggunakan sepuluh frame, tally tanda, menggunakan tabel untuk merekam data yang menampilkan hasil — siswa mungkin belajar apa grafik gambar adalah, bagaimana menggunakan data yang dicatat dan bagaimana membangun sebuah gambar grafik dalam setahun tengah kelas dimana siswa memiliki lebih mapan pengetahuan matematika dan pemahaman masalahnya mungkin mengambil fokus yang berbeda dimana sebelumnya bekerja direvisi dan pembelajaran baru dilakukan: mengumpulkan informasi — konsolidasi bagaimana untuk mengumpulkan informasi mana survei dan wawancara adalah data revisi recording — konsolidasi bagaimana untuk mengumpulkan informasi mana tabel dan merek tally yang direvisi anaiysing data — siswa mungkin membahas, mempelajari dan mencoba berbagai cara untuk menganalisis data, misalnya mencari persentase rata-rata dan pada hasilMenampilkan hasil 1 — siswa mungkin mendiskusikan dan belajar apa grafik dan grafik garis dan bagaimana membangun bar grafik dan grafik garisMasalah dapat mengintegrasikan beberapa topik dan melibatkan matematika yang rumit. Peran instruktur dalam memilih masalah yang berharga penting dan di pusat pemecahan masalah yang sukses. Berpikir tentang ide-ide matematis yang dapat dikonsolidasikan dan belajar melalui masalah tertentu membantu membangun sebuah program yang seimbang mana pemecahan masalah terletak di kedepan.Ketika memilih masalah guru perlu diingat apa ide-ide matematis akan tidak hanya konsolidasi tetapi juga ditingkatkan. Ada banyak masalah yang mungkin menarik dan menyenangkan tetapi dapat menyebabkan sedikit pembelajaran baru. Sementara ada tempat untuk masalah ini sangat penting bahwa berbagai dan berbagai masalah diselesaikan.Mengorganisir program pemecahan masalahSatu ide untuk membantu guru memilih dan memodifikasi masalah adalah dengan menggunakan masalah struktur tabel. Selama tahun sebagai masalah yang dipilih dan digunakan mereka dimasukkan ke dalam tabel untuk membantu guru melihat apa jenis masalah yang sedang digunakan. Jika masalah tertentu berhasil itu dapat dimodifikasi dan memiliki konteks berubah dan digunakan kembali di lain waktu tahun. Ini akan mendorong siswa untuk berpikir tentang masalah-masalah sebelumnya dan bagaimana mereka diselesaikan sebagai strategi penting ketika pemecahan masalah.Tabel di bawah ini dapat digunakan untuk membantu guru untuk melihat jenis masalah yang mereka gunakan dan seberapa sering mereka digunakan. Itu tidak dimaksudkan untuk menjadi hanya masalah cara dapat dianggap tapi agak salah satu cara di mana seorang guru mungkin berpikir tentang masalah. Sebagai guru datang keberdamai dengan pemecahan masalah di kelas mereka mereka dapat memikirkan cara lain untuk menjaga melacak yang berbagai jenis masalah dan datang dengan sendiri merekam dan pelacakan tabel.Aspek penting untuk mengembangkan program pemecahan masalah sukses adalah mampu membangun lingkungan kelas dalam masalah yang memecahkan adalah di kedepan. Siemon (1998) telah mengumpulkan tujuh saran untuk menciptakan lingkungan pemecahan masalah.Saran 1: Pemecahan masalah harus diintegrasikan ke dalam program matematika sekolah sehingga menjadi berkaitan erat dengan apa artinya mengenal, memahami dan menggunakan matematika. Sebagai contoh, learr'ng tentang nilai tempat dapat dan harus banyak masalah negosiasi pemecahan pengalaman sebagai penyelidikan yang melibatkan pengumpulan, interpretasi dan penyajian data.Saran 2: Mengakui bahwa anak-anak memiliki tujuan yang berbeda, motivasi dan harapan bahwa seperti banyak dibentuk oleh kelas budaya dimana terjadi matematika mengajar dan belajar. Sebagai contoh, banyak anak-anak percaya bahwa matematika adalah tentang ' melakukan penjumlahan cepat untuk mendapatkan jawaban... itu tidak membuat rasa *. Pendekatan tersebut harus lembut ditantang dan berubah. Pembangunan makna dan pembenaran prosedur perlu ditekankan dan dihargai. Salah satu cara untuk melakukan ini adalah melalui penilaian: 'satu tanda untuk jawabannya, sembilan untuk sebuah cerita yang masuk akal yang kita semua bisa memahami'.Saran 3: Mengembangkan budaya kelas di mana siswa berharap untuk menjelaskan, membela dan mengubah atau menolak ide-ide mereka dalam cara yang tidak mengancam, saling mendukung. Nilai membuat rasa dan mendorong siswa untuk mengenali, mengembangkan dan membuat hubungan antara pengetahuan konseptual dan prosedural.Saran 4: Mengakui bahwa apakah tugas tertentu adalah latihan atau masalah tergantung pada orang diharapkan untuk terlibat dengan tugas. Mengadopsi penyelidikan berbasis pendekatan untuk segala sesuatu yang dianggap dalam matematika. Berasumsi bahwa segala sesuatu adalah masalah sampai seluruh kelompok setuju bahwa itu adalah latihan — tugas di mana semua orang tahu apa yang harus dilakukan untuk mencapai solusi.Saran 5: Membentuk norma-norma kelas dan proses yang memastikan bahwa semua siswa memiliki kesempatan untuk berkontribusi pada pandangan bersama tentang bagaimana ide, latihan atau masalah mungkin dapat dimodelkan, dijelaskan dan dicatat. Panduan siswa untuk bentuk .of perwakilan yang paling efektif dan generalisable. Bicara tentang betapa berbedanya masalah sama dan bagaimana mereka berbeda. Menyimpan catatan kelas dari diskusi ini.Saran 6: Mengakui bahwa pemecahan masalah bukanlah sesuatu yang dapat ditetapkan, dikemas dan dikirim ke siswa. Itu adalah pengalaman yang harus dibagi dengan orang lain, dibahas dan diakui untuk apa — proses siklus yang memerlukan pemantauan sadar dan arah dalam banyak cara yang sama seperti proses penulisan kreatif.Saran 7: Memilih bahan, masalah, dan permainan yang memberikan kesempatan untuk mendiskusikan ide-ide matematis dan bagaimana mereka mungkin mewakili dan diterapkan. Model perilaku pemecahan masalah. Terlibat dalam berpikir keras upaya solusi dan meminta anak-anak untuk memeriksa alasan Anda. Membuat kesalahan fokus diskusi pada nilai memeriksa dan membenarkan satu pemikiran.Pemecahan masalahUntuk mendapatkan pemahaman penuh tentang masalah dan masalah yang memecahkannya yang diperlukan untuk membaca masalah, melihat struktur dan tentu saja untuk memecahkan masalah. Masalah berikut ini didasarkan pada satu oleh Polya.Herons hokiSally adalah anggota dari tim hoki lokal, bangau hoki. Salah satu tanggungjawabnya adalah untuk memotong artikel dan cerita tentang Herons dari majalah dan Surat Kabar dan menempatkan mereka ke dalam lembar memo.Suatu hari ia jatuh lembar memo dan semua halaman jatuh. Untungnya, dengan mencatat tanggal artikel dan cerita, ia mampu menempatkan halaman kembali.Sally memutuskan untuk nomor semua halaman memo. Dia punya sekotak stiker dan pada setiap stiker adalah salah satu angka 0-9. Ia digunakan stiker untuk nomor setiap halaman scrapbook dimulai dengan 1.Setelah selesai Sally, ia melihat ia telah menggunakan 537 stiker. Berapa banyak halaman yang di scrapbook?Siswa dan orang dewasa yang mencoba untuk memecahkan masalah ini melakukannya dalam banyak cara. Banyak hanya membagi dengan 2; setiap halaman kebutuhan beberapa dan karena ada sejumlah di bagian depan dan belakang halaman, membagi dengan 2 akan memberi Anda jumlah halaman. Orang-orang ini telah diabaikan informasi dari satu stiker untuk tiap digit, yang berarti jumlah halaman seperti 346 akan perlu tiga stiker. Beberapa mengambil informasi ini dan memikirkan satu digit angka dan membagi dengan 10, penalaran yang karena ada 10 angka membagi dengan 10 akan memberikan jumlah digit, sehingga mengabaikan fakta bahwa pertanyaan tidak menanyakan berapa banyak digit tapi berapa banyak halaman.Lain mengambil pendekatan yang lebih teratur dan menggunakan strategi seperti mengorganisir informasi ke dalam tabel atau daftar, yang dapat membantu dalam pemantauan menebak dan memeriksa pendekatan. Itu juga dapat mengakibatkan proses solusi yang berfokus pada jumlah digit yang digunakan untuk halaman dengan halaman satu digit, dua digit, tiga digit atau empat digit nomor. Sebagai contoh:Sementara mengidentifikasi respon untuk halaman satu digit mudah, menentukan jumlah halaman yang mengandung dua digit bisa sulit. Tiga jawaban yang sering diberikan, namun hanya satu dapat benar! Menghitung atau memeriksa sebuah papan nomor dua-digit menunjukkan bahwa ada 10 nomor untuk setiap dekade (10-19, 20-29, 30-39, 40-49,...) sehingga harus ada 90 angka sama sekali dan karenanya 180 stiker telah digunakan.Jawaban dari 89 sering diberikan karena siswa berpikir 9

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

Masalah berharga dan membangun pengetahuan baru
Untuk siswa untuk benar-benar mengembangkan cara-cara matematika berpikir dan nomor rasa sangat penting
untuk masalah berharga baik untuk dipilih untuk program kelas. Seorang guru tidak hanya membutuhkan
untuk memilih masalah yang tidak ada solusi langsung atau jelas, tetapi juga untuk memilih
masalah yang akan mengkonsolidasikan, memperluas dan merangsang pengetahuan matematika dan
pemahaman.
Ketika memilih masalah untuk kelas matematika tertentu guru perlu untuk benar-benar mengeksplorasi masalah dan mungkin ide-ide matematika yang bisa dibawa oleh siswa ketika bekerja melalui masalah. Dalam beberapa kasus mungkin perlu untuk memodifikasi masalah untuk memastikan tertentu ide-ide matematika yang ditingkatkan atau konsolidasi. Ada banyak masalah yang menarik dan menyenangkan, tetapi pada akhir hari guru perlu bertanya apa pemikiran matematika sedang dikembangkan, dirangsang, diperpanjang atau konsolidasi dengan masalah ini.
Pemecahan masalah yang merupakan bagian integral program matematika dan tidak terisolasi kegiatan harus membantu siswa untuk mengkonsolidasikan dan memperluas pengetahuan dan pemahaman mereka. Nah masalah yang dipilih akan memberikan siswa kesempatan untuk mengklarifikasi dan datang untuk berdamai dengan proses matematika dan pemahaman. Misalnya, masalah mengenai kepemilikan hewan peliharaan dapat melibatkan proses matematika sangat berbeda dan pemahaman tergantung pada usia siswa. Di dalam kelas yang awal tahun di mana para siswa mulai belajar pengetahuan matematika dan pemahaman masalah mungkin mengambil fokus berikut:
mengumpulkan informasi-siswa bisa berdiskusi, mempelajari dan mencoba beberapa cara untuk mengumpulkan informasi, misalnya meminta peopIe individual, survei dengan gambar binatang atau kelompok yang meminta dengan menunjukkan tangan rekaman data- siswa mungkin membahas, mempelajari dan mencoba beberapa cara untuk merekam informasi, misalnya menghitung dan menulis nomor, menggunakan sepuluh frame, tanda penghitungan, menggunakan tabel untuk merekam menampilkan siswa pada hasil data bisa belajar apa grafik gambar adalah, bagaimana menggunakan data yang tercatat dan bagaimana membangun grafik gambar Di dalam kelas tahun tengah di mana siswa telah lebih mapan pengetahuan matematika dan pemahaman masalah mungkin mengambil fokus berbeda di mana pekerjaan sebelumnya direvisi dan pembelajaran baru dilakukan: mengumpulkan informasi-konsolidasi bagaimana mengumpulkan informasi di mana survei dan wawancara direvisi perekaman data-konsolidasi bagaimana mengumpulkan informasi di mana tabel dan tanda penghitungan direvisi anaiysing data siswa bisa berdiskusi, belajar sekitar dan mencoba beberapa cara untuk menganalisis data, misalnya menemukan rata-rata dan persentase hasil
1 menampilkan hasil-siswa bisa berdiskusi dan belajar apa grafik batang dan garis grafik dan bagaimana membangun grafik batang dan grafik garis
Masalah dapat mengintegrasikan beberapa topik dan melibatkan matematika yang kompleks. Peran guru dalam memilih masalah berharga adalah penting dan di pusat pemecahan masalah sukses. Berpikir tentang ide-ide matematika yang dapat dikonsolidasikan dan dipelajari melalui masalah tertentu membantu membangun program seimbang di mana pemecahan masalah di kedepan.
Ketika memilih masalah guru perlu diingat apa ide-ide matematika tidak hanya akan dikonsolidasikan tetapi juga ditingkatkan. Ada banyak masalah yang mungkin menarik dan menyenangkan tapi dapat menyebabkan sangat sedikit pembelajaran baru. Sementara ada tempat untuk masalah ini adalah penting bahwa berbagai macam dan berbagai masalah yang dipecahkan.
Mengorganisir program pemecahan masalah
Satu ide untuk membantu guru memilih dan memodifikasi masalah adalah dengan menggunakan tabel struktur masalah. Selama tahun sebagai masalah yang dipilih dan digunakan mereka masuk ke dalam tabel untuk membantu para guru melihat apa jenis masalah yang sedang digunakan. Jika masalah tertentu berhasil dapat dimodifikasi dan memiliki konteks berubah dan digunakan lagi di lain waktu tahun. Hal ini akan mendorong siswa untuk berpikir tentang masalah sebelumnya dan bagaimana mereka dipecahkan sebagai strategi penting ketika memecahkan masalah.
Tabel di bawah ini dapat digunakan untuk membantu para guru untuk melihat jenis masalah yang mereka gunakan dan seberapa sering mereka digunakan. Hal ini tidak dimaksudkan untuk menjadi satu-satunya cara masalah dapat dianggap melainkan salah satu cara di mana guru mungkin berpikir tentang masalah. Sebagai guru datang ke
istilah dengan pemecahan masalah di kelas mereka mungkin berpikir tentang cara lain untuk melacak berbagai jenis masalah dan datang dengan pencatatan dan pelacakan meja mereka sendiri. Sebuah aspek penting untuk mengembangkan masalah yang sukses Program pemecahan adalah mampu untuk membangun lingkungan kelas di mana pemecahan masalah di kedepan. Siemon (1998) telah mengumpulkan tujuh saran untuk menciptakan pemecahan masalah lingkungan. Saran 1: Pemecahan masalah harus diintegrasikan ke dalam program matematika sekolah sehingga menjadi berkaitan erat dengan apa yang dimaksud dengan mengenal, memahami dan menggunakan matematika. Sebagai contoh, learr'ng tentang nilai tempat dapat dan harus sebanyak pengalaman pemecahan masalah dinegosiasikan sebagai penyelidikan yang melibatkan pengumpulan, interpretasi dan penyajian data. Saran 2: Mengakui bahwa anak-anak memiliki tujuan yang berbeda, motivasi dan harapan yang banyak dibentuk oleh budaya kelas di mana mengajar dan belajar matematika terjadi. Sebagai contoh, banyak anak-anak percaya bahwa matematika adalah tentang 'melakukan sejumlah cepat untuk mendapatkan jawaban ... tidak harus masuk akal *. Pendekatan tersebut harus lembut menantang dan berubah. Pembangunan makna dan pembenaran prosedur perlu ditekankan dan dihargai. Salah satu cara untuk melakukan ini adalah melalui penilaian:. 'Satu tanda untuk jawabannya, sembilan untuk cerita yang masuk akal yang bisa kita mengerti' Saran 3: Mengembangkan budaya kelas di mana siswa diharapkan untuk menguraikan, mempertahankan dan mengubah atau menolak ide-ide mereka dalam non-mengancam, cara saling mendukung. . Nilai pembuatan akal dan mendorong siswa untuk mengenali, mengembangkan dan membuat hubungan antara pengetahuan konseptual dan prosedural Saran 4: Mengakui bahwa apakah tugas tertentu adalah latihan atau masalah tergantung pada orang (s) diharapkan untuk terlibat dengan tugas. Mengadopsi pendekatan berbasis penyelidikan untuk segala sesuatu yang dianggap dalam matematika. Asumsikan bahwa semuanya masalah sampai seluruh kelompok setuju bahwa itu adalah latihan-tugas di mana semua orang tahu apa yang harus dilakukan untuk sampai pada solusi. Saran 5: Menetapkan norma-norma kelas dan proses yang memastikan bahwa semua siswa memiliki kesempatan untuk berkontribusi pandangan bersama tentang bagaimana sebuah ide, olahraga atau masalah mungkin dimodelkan, dijelaskan dan dicatat. Membimbing siswa untuk representasi bentuk yang paling efektif dan digeneralisasikan .dari. Berbicara tentang bagaimana berbagai masalah yang sama dan bagaimana mereka berbeda. Mencatat kelas diskusi ini. Saran 6: Mengakui bahwa pemecahan masalah bukanlah sesuatu yang dapat didefinisikan, dikemas dan disampaikan kepada siswa. Ini adalah pengalaman yang perlu dibagi dengan orang lain, dibahas dan mengakui apa adanya-proses siklus yang membutuhkan pemantauan sadar dan arah dalam banyak cara yang sama seperti proses menulis kreatif. Saran 7: Pilih bahan, masalah dan permainan yang memberikan kesempatan untuk mendiskusikan ide-ide matematika dan bagaimana mereka dapat diwakili dan diterapkan. Perilaku pemecahan masalah Model. Terlibat dalam berpikir keras upaya solusi dan meminta anak-anak untuk memeriksa alasan Anda. Membuat kesalahan untuk fokus pembahasan pada nilai memeriksa dan membenarkan pemikiran seseorang. Pemecahan masalah Untuk mendapatkan pemahaman penuh masalah dan pemecahan masalah perlu untuk membaca masalah, melihat struktur dan tentu saja untuk memecahkan masalah. Masalah berikut ini didasarkan pada satu per Polya. The Hockey Bangau Sally adalah anggota tim hoki lokal, Hockey Bangau. Salah satu tanggung jawabnya adalah untuk memotong artikel dan cerita tentang Bangau dari majalah dan surat kabar dan menempatkan mereka ke dalam lembar memo. Suatu hari ia menjatuhkan lembar memo dan semua halaman jatuh. Untungnya, dengan mencatat tanggal artikel dan cerita, ia mampu menempatkan halaman belakang agar. Sally memutuskan untuk nomor semua halaman lembar memo. Dia memiliki kotak stiker dan pada setiap stiker adalah salah satu dari angka 0-9. Dia menggunakan stiker ke nomor setiap halaman lembar memo dimulai dengan 1. Ketika Sally telah selesai, dia melihat dia telah menggunakan 537 stiker. Berapa banyak halaman di lembar memo tersebut? Mahasiswa dan orang dewasa berusaha untuk memecahkan masalah ini melakukannya dengan banyak cara. Banyak hanya membagi dengan 2; karena setiap halaman membutuhkan nomor dan karena ada nomor di bagian depan dan belakang halaman, membaginya dengan 2 akan memberikan jumlah halaman. Orang-orang ini telah diabaikan informasi dari satu stiker untuk setiap digit, yang berarti nomor halaman seperti 346 akan membutuhkan tiga stiker. Beberapa mengambil informasi ini dan memikirkan angka satu digit dan dibagi dengan 10, alasan bahwa karena ada 10 digit membaginya dengan 10 akan memberikan jumlah digit, sehingga mengabaikan fakta bahwa pertanyaan tidak meminta berapa banyak digit tapi berapa banyak halaman. Lainnya mengambil pendekatan dan menggunakan strategi yang lebih terorganisir seperti mengorganisir informasi ke dalam tabel atau daftar, yang dapat membantu dalam memantau menebak dan pendekatan cek. Hal ini juga dapat menyebabkan proses solusi yang berfokus pada jumlah digit yang digunakan untuk halaman dengan satu digit, dua digit, tiga digit atau empat digit nomor halaman. Sebagai contoh: Ketika mengidentifikasi respon untuk halaman satu digit mudah, menentukan jumlah halaman yang berisi dua digit bisa sulit. Tiga jawaban biasanya diberikan, namun hanya satu yang dapat benar! Menghitung atau memeriksa dua digit nomor papan menunjukkan bahwa ada 10 angka untuk setiap dekade (10-19, 20-29, 30-39, 40-49, ...,) sehingga harus ada 90 angka sama sekali dan karenanya 180 stiker telah digunakan. Sebuah jawaban dari 89 sering diberikan karena siswa berpikir 9