Let β denote an arbitrary parameter

Let β denote an arbitrary parameter. Consider a significance test of H0: β = β0 (such
as H0: β = 0, for which β0 = 0).
The simplest test statistic uses the large-sample normality of the ML estimator ˆβ.
Let SE denote the standard error of ˆβ, evaluated by substituting the ML estimate for
the unknown parameter in the expression for the true standard error. (For example, for
the binomial parameter π, SE = √[p(1 − p)/n].) When H0 is true, the test statistic
z = ( ˆβ − β0)/SE
has approximately a standard normal distribution. Equivalently, z2 has approximately
a chi-squared distribution with df = 1. This type of statistic, which uses the standard
error evaluated at the ML estimate, is called a Wald statistic. The z or chi-squared test
using this test statistic is called a Wald test.
You can refer z to the standard normal table to get one-sided or two-sided P -values. Equivalently, for the two-sided alternative H0: β = β0 , z2 has a chi-squared
distribution with df = 1. The P -value is then the right-tail chi-squared probability
above the observed value. The two-tail probability beyond ±z for the standard normal
distribution equals the right-tail probability above z2 for the chi-squared distribution
with df = 1. For example, the two-tail standard normal probability of 0.05 that
falls below −1.96 and above 1.96 equals the right-tail chi-squared probability above
(1.96)2 = 3.84 when df = 1.
An alternative test uses the likelihood function through the ratio of two maximiza-tions of it: (1) the maximum over the possible parameter values that assume the null
hypothesis, (2) the maximum over the larger set of possible parameter values, per-mitting the null or the alternative hypothesis to be true. Let 0 denote the maximized
value of the likelihood function under the null hypothesis, and let 1 denote the max-imized value more generally. For instance, when there is a single parameter β, 0 is
the likelihood function calculated at β0, and 1 is the likelihood function calculated
at the ML estimate ˆβ. Then 1 is always at least as large as 0, because 1 refers to
maximizing over a larger set of possible parameter values.
The likelihood-ratio test statistic equals
−2 log(0/1)In this text, we use the natural log, often abbreviated on calculators by LN. If the maxi-mized likelihood is much larger when the parameters are not forced to satisfy H0, then
the ratio 0/1 is far below 1. The test statistic −2 log(0/1) must be nonnegative,
and relatively small values of 0/1 yield large values of −2 log(0/1) and strong evi-dence against H0. The reason for taking the log transform and doubling is that it yields
an approximate chi-squared sampling distribution. Under H0: β = β0, the likelihood-ratio test statistic has a large-sample chi-squared distribution with df = 1. Software
can find the maximized likelihood values and the likelihood-ratio test statistic.
A third possible test is called the score test. We will not discuss the details except
to say that it finds standard errors under the assumption that the null hypothesis holds.
For example, the z test (1.2) for a binomial parameter that uses the standard error√[π0(1 − π0)/n] is a score test.
The Wald, likelihood-ratio, and score tests are the three major ways of constructing
significance tests for parameters in statistical models. For ordinary regression models
assuming a normal distribution for Y , the three tests provide identical results. In other
cases, for large samples they have similar behavior when H0 is true.
When you use any of these tests, the P -value that you find or software reports is
an approximation for the true P -value. This is because the normal (or chi-squared)
sampling distribution used is a large-sample approximation for the true sampling
distribution. Thus, when you report a P -value, it is overly optimistic to use many
decimal places. If you are lucky, the P -value approximation is good to the second
decimal place. So, for a P -value that software reports as 0.028374, it makes more
sense to report it as 0.03 (or, at best, 0.028) rather than 0.028374. An exception is
when the P -value is zero to many decimal places, in which case it is sensible to
report it as P< 0.001 or P< 0.0001. In any case, a P -value merely summarizes the
strength of evidence against the null hypothesis, and accuracy to two or three decimal
places is sufficient for this purpose.
Each method has a corresponding confidence interval. This is based on inverting
results of the significance test: The 95% confidence interval for a parameter β is the set
of β0 values for the significance test of H0: β = β0 such that the P -value is larger than
0.05. For example, the 95% Wald confidence interval is the set of β0 values for which
z = ( ˆβ − β0)/SE has |z| < 1.96. It equals ˆβ ± 1.96(SE). For a binomial proportion,
the score confidence interval is the one discussed in Section 1.3.4 that has endpoints
that are π0 values having P -value 0.05 in the z-test using the null standard error.

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

Biarkan β yang menunjukkan parameter yang sewenang-wenang. Pertimbangkan tes signifikansi H0: β = β0 (seperti
sebagai H0: β = 0, untuk β0 yang = 0).
statistik tes sederhana menggunakan normalitas besar-sampel ˆβ pengukur ML.
SE membiarkan menunjukkan kesalahan standar ˆβ, dievaluasi oleh mengganti perkiraan ML untuk
parameter yang tidak diketahui dalam ekspresi untuk kesalahan standar yang benar. (Misalnya, untuk
binomial parameter π, SE = √ [p (1 − p) /n].) Kapan H0 benar, uji statistik
z = (ˆβ − β0) / SE
memiliki sekitar distribusi normal standar. SBDK, z2 memiliki sekitar
distribusi Khi-kuadrat dengan df = 1. Jenis ini statistik, yang menggunakan standar
kesalahan dievaluasi pada perkiraan ML, disebut Statistik Wald. Z atau tes Khi-kuadrat
menggunakan statistik tes ini disebut tes Wald
Anda dapat lihat z tabel normal standar untuk mendapatkan satu sisi atau dua sisi P-nilai. SBDK, untuk dua sisi H0 alternatif: β = β0, z2 telah chi-kuadrat
distribusi dengan df = 1. P-nilai ini kemudian probabilitas Khi-kuadrat kanan-ekor
atas nilai diamati. Kemungkinan dua ekor luar ±z untuk normal standar
distribusi sama dengan probabilitas ekor kanan di atas z2 untuk distribusi Khi-kuadrat
dengan df = 1. Misalnya, dua ekor standar normal probabilitas 0,05 yang
jatuh di bawah −1.96 dan di atas 1,96 sama dengan probabilitas Khi-kuadrat ekor kanan di atas
(1,96) 2 = 3.84 ketika df = 1.
tes alternatif menggunakan fungsi kemungkinan melalui rasio maximiza-tions dua itu: (1) maksimum atas nilai-nilai parameter yang mungkin menganggap null
hipotesis, (2) maksimum lebih dari set yang lebih besar dari nilai parameter yang tersedia, per-mitting null atau hipotesis alternatif untuk menjadi kenyataan. Biarkan 0 menunjukkan dimaksimalkan
nilai fungsi kemungkinan di bawah nol hipotesis, dan membiarkan 1 menunjukkan nilai max-imized lebih umum. Misalnya, ketika ada satu parameter β, 0 adalah
kemungkinan fungsi dihitung pada β0, dan 1 adalah kemungkinan fungsi dihitung
di ML memperkirakan ˆβ. Maka 1 selalu setidaknya sebesar 0, karena 1 merujuk kepada
memaksimalkan atas set yang lebih besar kemungkinan parameter nilai.
sama dengan kemungkinan-rasio uji statistik
−2 log (0 / 1) dalam teks ini, kita menggunakan log alam, seringkali disingkat pada kalkulator oleh LN. Jika kemungkinan maxi-mized jauh lebih besar ketika parameter tidak dipaksa untuk memenuhi H0, kemudian
rasio 0 / 1 adalah jauh di bawah 1. Uji statistik −2 log (0 / 1) harus nonnegative,
dan nilai-nilai yang relatif kecil dari 0 / 1 menghasilkan nilai-nilai besar −2 log (0 / 1) dan kuat evi-mengumpulkan bukti terhadap H0. Alasan untuk mengambil mengubah login dan dua kali lipat adalah bahwa itu menghasilkan
distribusi sampling Khi-kuadrat perkiraan. Di bawah H0: Β = β0, kemungkinan-rasio uji statistik memiliki distribusi Khi-kuadrat besar-sampel dengan df = 1. Perangkat lunak
dapat menemukan nilai-nilai kemungkinan dimaksimalkan dan rasio kemungkinan uji statistik.
tes mungkin ketiga disebut Skor tes. Kita tidak akan membahas rincian kecuali
untuk mengatakan bahwa ia menemukan kesalahan standar di bawah asumsi bahwa memegang hipotesis null.
sebagai contoh, tes z (1,2) untuk parameter binomial yang menggunakan standar error√ [π0 (1 − π0) /n] adalah Skor tes
Wald, kemungkinan-rasio, dan Skor tes adalah tiga cara utama untuk membangun
signifikansi tes untuk parameter dalam model Statistik. Untuk model regresi biasa
mengasumsikan distribusi normal untuk Y, tiga tes memberikan hasil yang sama. Lain
kasus, untuk sample yang besar mereka memiliki perilaku serupa ketika H0 benar.
Kapan Anda menggunakan salah satu tes ini, P-nilai yang Anda menemukan atau perangkat lunak laporan
perkiraan untuk benar P-nilai. Hal ini karena normal (atau Khi-kuadrat)
sampling distribusi yang digunakan adalah pendekatan besar-sampel untuk sampling benar
distribusi. Jadi, ketika Anda melaporkan P-nilai, itu terlalu optimis untuk menggunakan banyak
desimal. Jika Anda beruntung, P-nilai perkiraan baik untuk kedua
tempat desimal. Jadi, untuk P-nilai perangkat lunak laporan sebagai 0.028374, itu membuat lebih
rasa untuk melaporkannya sebagai 0.03 (atau, di terbaik, 0.028) daripada 0.028374. pengecualian
ketika P-nilai adalah nol ke banyak tempat desimal, dalam hal ini bijaksana untuk
melaporkannya sebagai P < 0.001 atau P < 0,0001. Dalam setiap kasus, P-nilai hanya merangkum
kekuatan bukti terhadap hipotesis null, dan akurasi untuk dua atau tiga desimal
tempat ini cukup untuk tujuan ini.
setiap metode memiliki interval keyakinan sesuai. Hal ini didasarkan pada membalik
hasil tes signifikansi: 95% confidence interval parameter β adalah himpunan
β0 nilai untuk ujian signifikansi H0: β = β0 sedemikian rupa sehingga P-nilai lebih besar daripada
0,05. Sebagai contoh, 95% interval keyakinan Wald adalah serangkaian nilai-nilai β0 yang
z = (ˆβ − β0) /SE telah |z| < 1,96. Itu sama dengan ˆβ ± 1.96(SE). Untuk proporsi binomial,
interval kepercayaan Skor yang dibahas dalam bagian 1.3.4 yang memiliki Endpoint
yang nilai-nilai π0 yang memiliki P-nilai 0,05 dalam z-tes menggunakan kesalahan standar null.

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

Mari β menunjukkan parameter sewenang-wenang. Pertimbangkan tes signifikansi H0: β = β0 (seperti
sebagai H0: β = 0, yang β0 = 0).
Uji statistik sederhana menggunakan besar sampel normalitas ML estimator β.
Biarkan SE menunjukkan standard error dari β , dievaluasi dengan menggantikan estimasi ML untuk
parameter yang tidak diketahui dalam ekspresi untuk standard error yang benar. (Misalnya, untuk
parameter π binomial, SE = √ [p (1 - p) / n].) Ketika H0 benar, statistik uji
z = (β - β0) / SE
memiliki sekitar distribusi normal standar. Ekuivalen, z2 memiliki sekitar
distribusi chi-kuadrat dengan df = 1. Jenis statistik, yang menggunakan standar
error dievaluasi pada estimasi ML, disebut statistik Wald. Z atau uji chi-squared
menggunakan uji statistik ini disebut tes Wald.
Anda dapat merujuk z pada tabel normal standar untuk mendapatkan nilai-P satu sisi atau dua sisi. Ekuivalen, untuk H0 alternatif dua sisi: β = β0, z2 memiliki chi-squared?
distribusi dengan df = 1 P-nilai ini kemudian hak-ekor probabilitas chi-squared.
atas nilai yang diamati. Dua ekor probabilitas luar ± z untuk standar normal
distribusi sama dengan probabilitas kanan ekor di atas z2 untuk distribusi chi-kuadrat
dengan df = 1. Sebagai contoh, dua ekor standar probabilitas normal 0,05 yang
jatuh di bawah -1.96 dan di atas 1,96 sama dengan hak-ekor probabilitas chi-squared atas
(1,96) 2 = 3,84 ketika df = 1.
Tes alternatif menggunakan fungsi kemungkinan melalui rasio dua-tions maximiza itu: (1) maksimum atas parameter mungkin nilai-nilai yang menganggap nol
hipotesis, (2) maksimum atas set yang lebih besar dari nilai parameter mungkin, per-mitting nol atau hipotesis alternatif untuk menjadi kenyataan. Mari kita 0 melambangkan dimaksimalkan
nilai fungsi likelihood di bawah hipotesis nol, dan membiarkan? 1 menunjukkan nilai max-imized lebih umum. Misalnya, ketika ada parameter β tunggal,? 0 adalah
fungsi kemungkinan dihitung pada β0, dan? 1 adalah fungsi likelihood dihitung
di ML estimasi β. Lalu? 1 selalu setidaknya sama besar dengan? 0, karena? 1 mengacu
memaksimalkan lebih dari satu set yang lebih besar dari nilai parameter mungkin.
Kemungkinan-rasio uji statistik sama dengan
-2 log (? 0 /? 1) Dalam teks ini, kita menggunakan log natural, sering disingkat pada kalkulator oleh LN. Jika kemungkinan maxi-Nusa Tenggara Barat jauh lebih besar ketika parameter tidak dipaksa untuk memenuhi H0, maka
rasio? 0 /? 1 jauh di bawah 1. Statistik uji -2 log (? 0 /? 1) harus positif,
dan nilai-nilai yang relatif kecil? 0 /? 1 hasil nilai-nilai besar -2 log (? 0 /? 1) dan kuat bukti melawan H0. Alasan untuk mengambil transformasi log dan penggandaan adalah bahwa hal itu menghasilkan
sebuah distribusi sampling chi-squared perkiraan. Di bawah H0: β = β0, uji statistik kemungkinan-rasio memiliki besar sampel chi-squared distribusi dengan Software df = 1.
dapat menemukan nilai-nilai kemungkinan maksimal dan uji statistik kemungkinan-rasio.
Tes ketiga yang mungkin disebut skor uji. Kami tidak akan membahas rincian kecuali
untuk mengatakan bahwa menemukan kesalahan standar di bawah asumsi bahwa hipotesis nol memegang.
Misalnya, tes z (1.2) untuk parameter binomial yang menggunakan standar error √ [π0 (1 - π0) / n] adalah tes skor.
The Wald, kemungkinan-rasio, dan skor tes adalah tiga cara utama membangun
tes signifikansi parameter dalam model statistik. Untuk model regresi biasa
dengan asumsi distribusi normal untuk Y, tiga tes memberikan hasil yang identik. Dalam lain
kasus, untuk sampel besar mereka memiliki perilaku yang sama ketika H0 benar.
Bila Anda menggunakan salah satu dari tes ini, P-nilai yang Anda temukan atau laporan perangkat lunak
sebuah pendekatan untuk benar P-value. Hal ini karena (atau chi-squared) normal
distribusi sampling yang digunakan adalah besar sampel pendekatan untuk benar sampel
distribusi. Jadi, ketika Anda melaporkan P-nilai, itu terlalu optimis untuk menggunakan banyak
tempat desimal. Jika Anda beruntung, P-nilai pendekatan yang baik untuk kedua
tempat desimal. Jadi, untuk P-nilai bahwa laporan perangkat lunak sebagai 0.028374, akan lebih
masuk akal untuk melaporkannya sebagai 0,03 (atau, paling banter, 0,028) daripada 0,028374. Pengecualian adalah
ketika P-nilai nol ke banyak tempat desimal, dalam hal ini masuk akal untuk
melaporkannya sebagai P <0,001 atau P <0,0001. Dalam kasus apapun, P-nilai hanya merangkum
kekuatan bukti terhadap hipotesis nol, dan akurasi untuk dua atau tiga desimal
tempat sudah cukup untuk tujuan ini.
Setiap metode memiliki interval kepercayaan yang sesuai. Hal ini didasarkan pada pembalik
hasil uji signifikansi: Interval kepercayaan 95% untuk parameter β adalah himpunan
nilai-nilai β0 untuk uji signifikansi H0: β = β0 sedemikian rupa sehingga P-value lebih besar dari
0,05. Sebagai contoh, 95% confidence interval Wald adalah seperangkat nilai-nilai β0 yang
z = (β - β0) / SE memiliki | z | <1,96. Ini sama dengan β ± 1,96 (SE). Untuk proporsi binomial,
confidence interval skor adalah yang dibahas dalam Bagian 1.3.4 yang memiliki endpoint
yang nilai π0 memiliki P-value 0,05 di z-test menggunakan nol standard error.