and let δS be a small element of S

and let δS be a small element of S containing the point P and with region 1 below and region 2 aboveS. Let (δX,δY,δZ) denote the force exerted on fluid in region 1 by fluid region 2 acrossδS. This elementary force is the resultant (vector sum) of a set of contact forces acting across δS, in general it will not act through P; alternatively, resolution of the forces
will yield a force (δX,δY,δZ) acting through P together with an elementary couple with moment of magnitude on the order of (δS)1/2 (δX2 + δY 2 + δZ2)1/2. The main force per unit area exerted by fluid 2 on fluid 1 across δS,
is called the mean stress. The limit as δS → 0 in such a way that it always contains P, if it exists, is the stress at P across S. Stress is a force per unit area. The stress F is generally inclined to the normal n to S at P, and varies both in magnitude and direction as the orientation n of S is varied about the fixed point P. The stress F may be resolved into a normal reaction N, ortension, acting normal to S and shearing stress T, tangential to S, each per unit area.
Figure 2.4: The stress on a surface element δS can be resolved into normal and tangential components.
Note that in the limit δS → 0 there is no resultant bending moment as
provided that the stress is bounded. The stress and its reaction (exerted by fluid in region 1 on fluid in region 2) are equal and opposite. This follows by considering the equilibrium of an infinitesimal slice at P; see Fig. 2.5.
2.2.1 Fluid and solids: pressure
If the stress in a material at rest is always normal to the measuring surface for all points P and surfaces S, the material is termed a fluid; otherwise it is a solid. Solids at rest sustain tangential stresses because of their elasticity, but simple fluids do not possess this property. By assuming the material to be at rest we eliminate the shearing stress due to internal friction. Many real fluids conform closely to this
Figure 2.5: The stress and its reaction are equal and opposite.
definition including air and water, although there are more complex fluids possessing both viscosity and elasticity. A fluid can be defined also as a material offering no initial resistance to shear stress, although it is important to realize that frictional shearing stresses appear as soon as motion begins, and even the smallest force will initiate motion in a fluid in time. The property of internal friction in a fluid is known as viscosity. Although the term tension is usual in the theory of elasticity, in fluid dynamics the term pressure is used to denote the hydrostatic stress, reversed in sign. In a fluid at rest the stress acts normally outwards from a surface, whereas the pressure acts normally inwards from the fluid towards the surface.
2.2.2 Isotropy of pressure
The pressure at a point P in a continuous fluid is isotropic; i.e., it is the same for all directions n. This is proved by considering the equilibrium of a small tetrahedral element of fluid with three faces normal to the coordinate axes and one slant face. The proof may be found in any text on fluid mechanics.
2.2.3 Pressure gradient forces in a fluid in macroscopic equi- librium
Pressure is independent of direction at a point, but may vary from point to point in a fluid. Consider the equilibrium of a thin cylindrical element of fluid PQof length δs and cross-section A, and with its ends normal to PQ. Resolve the forces in the direction P for the fluid at rest. Then pressure acts normally inwards on the curved
cylindrical surface and has no component in the direction of PQ (2.6). Thus the only contributions are from the plane ends.
Figure 2.6: Pressure forces on a cylindrical element of fluid.
The net force in the direction PQ due to the pressure thrusts on the surface of the element is
where dV is the volume of the cylinder. In the limit δs→ 0, A→ 0, the net pressure thrust →−(∂p/∂s) dV, or −∂p/∂s = −ˆ s·∇p per unit volume of fluid (ˆ s being a unit vector in the direction PQ). It follows that −∇p is the pressure gradient force per unit volume of fluid, and −ˆ n·∇ p is the component of pressure gradient force per unit volume in the direction ˆ n.
Figure 2.7: A horizontal cylindrical element of fluid in equilibrium.
2.2.4 Equilibrium of a horizontal element
The cylindrical element shown in Fig. 2.7 is in equilibrium under the action of the pressure over its surface and its weight. Resolving in the direction PQ, the x-direction, the only force arises from pressure acting on the ends
and hence in equilibrium in the limit δV → 0,
Alternatively, the horizontal component of pressure gradient force per unit volume is −i·∇p =−∂p/∂x = 0, from the assumption of equilibrium. Thus p is independent of horizontal distance x, and is similarly independent of horizontal distance y. It follows that
and surfaces of equal pressure (isobaric surfaces) are horizontal in a fluid at rest.
2.2.5 Equilibrium of a vertical element
For a vertical cylindrical element at rest in equilibrium under the action of pressure thrusts and the weight of fluid
Thus 1 dp dz = ρg, per unit volume, since p = p(z) only (otherwise we would write ∂p/∂z!). Hence ρ = 1 g dp dz is a function of z at most, i.e., ρ = ρ(z).
2.2.6 Liquids and gases
Liquids undergo little change in volume with pressure over a very large range of pressures and it is frequently a good assumption to assume that ρ = constant. In that case, the foregoing equation integrates to give
p = p0 + ρgz,
where p = p0 at the level z = 0. Ideal gases are such that pressure, density and temperature are related through the ideal gas equation, p = ρRT, whereT is the absolute temperature and R is the specific gas constant. If a certain volume of gas is isothermal (i.e., has constant temperature), then pressure and density vary exponentially with depth with a so- called e-folding scale H = RT/g (see Ex. 4).
1Here z measuresdownwardsso that sgn(δz) = sgn(δp). Normallywe take z upwards whereupon dp/dz =−ρg.
Figure 2.8: Equilibrium forces on a vertical cylindrical element of fluid at rest.
2.2.7 Archimedes Principle
In a fluid at rest the net pressure gradient force per unit volume acts vertically upwards and is equal to−dp/dz (when z points upwards) and the gravitational force per unit volume is ρg. Hence, for equilibrium, dp/dz =−ρg. Consider the vertically- oriented cylindrical element P1P2 of an immersed body which intersects the surface of the body to form surface elements δS1 and δS2. These surface elements have normals n1, n2 inclined at angles θ1, θ2 to the vertical. The net upward thrust on these small surfaces = p2 cos θ2 δS2 −p1 cos θ1 δS1 =( p2 −p1)δS, where δS1cosθ1 = δS2cosθ2 = δS is the horizontal cross-sectional area of the cylinder. Since
the net upward thrust =  z1 z2 ρg dzδS = The weight of liquid displaced by the cylindrical element.
If this integration is now continued over the whole body we have Archimedes Principle which states that the resultant thrust on an immersed body has a magnitude equal
Figure 2.9: Pressure forces on an immersed body or fluid volume.
to the weight of fluid displaced and acts upward through the centre of mass of the displaced fluid (provided that the gravitational field is uniform).
Exercises
1. If you suck a drink up through a straw it is clear that you must accelerate fluid particles and therefore must be creating forces on the fluid particles near the bottom of the straw by the action of sucking. Give a concise, but careful discussion of the forces acting on an element of fluid just below the open end of the straw.
2. Show that the pressure at a point in a fluid at rest is the same in all directions.
3. Show that the force per unit volume in the interior of homogeneous fluid is −∇p, and explain how to obtain from this the force in any specific direction. 4. Show that, in hydrostatic equilibrium, the pressure and density in an isothermal atmosphere vary with height according to the formulae
p(z)=p(0) exp(−z/HS), ρ(z)=ρ(0) exp(−z/HS), where Hs = RT/g and z points vertically upwards. Show that for realistic values of T in the troposphere, the e-folding height scale is on the order of 8 km.
5. A factory releases smoke continuously from a chimney and we suppose that the smoke plume can be detected far down wind. On a particular day the wind is initially from the south at 0900 h and then veers (turns clockwise) steadily until it is from the west at 1100 h. Draw initial and final streamlines at 0900 and 1100 h, a particle path from 0900 h to 1100 h, and filament line from 0900 to 1100 h.
6. Show that the streamline through the origin in the flow with uniform velocity (U,V,W) is a straight line and find its direction cosines. 7. Find streamlines for the velocity field u =(αx,−αy,0), where α is constant, and sketch them for the case α>0.
8. Show that the equation for a particle path in steady flow is determined by the differential relationship
where u =(u,v,w) is the velocity at the point (x,y,z). What does this relationship represent in unsteady flow?
9. A stream is broad and shallow with width 8 m, mean depth 0.5 m, and mean speed 1ms−1. What is its volume flux (rate of flow per second) in m3 s−1? It enters a pool of mean depth 3 m and width 6 m: what then is its mean speed? It continues over a waterfall in a single column with mean speed 10ms−1 at its base: what is the mean diameter of this column at the base of the waterfall? Will the diameter of the water column at the top of the waterfall be greater, equal to, or less at its base? Why?
10. Under what condition is the advective rate-of-change equal to the total rate- of-change? 11. Express u·∇and∇·u in Cartesian form and show that they are quite different, one being a scalar function and one a scalar differential operator.
12. Some books use the expression df/dt. Would you identify this with Df/Dt or ∂f/∂t in a field f(x,y,z,t)?
13. The vector differential operator del (or nabla)

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

and let δS be a small element of S containing the point P and with region 1 below and region 2 aboveS. Let (δX,δY,δZ) denote the force exerted on fluid in region 1 by fluid region 2 acrossδS. This elementary force is the resultant (vector sum) of a set of contact forces acting across δS, in general it will not act through P; alternatively, resolution of the forceswill yield a force (δX,δY,δZ) acting through P together with an elementary couple with moment of magnitude on the order of (δS)1/2 (δX2 + δY 2 + δZ2)1/2. The main force per unit area exerted by fluid 2 on fluid 1 across δS, is called the mean stress. The limit as δS → 0 in such a way that it always contains P, if it exists, is the stress at P across S. Stress is a force per unit area. The stress F is generally inclined to the normal n to S at P, and varies both in magnitude and direction as the orientation n of S is varied about the fixed point P. The stress F may be resolved into a normal reaction N, ortension, acting normal to S and shearing stress T, tangential to S, each per unit area.Figure 2.4: The stress on a surface element δS can be resolved into normal and tangential components.Note that in the limit δS → 0 there is no resultant bending moment asprovided that the stress is bounded. The stress and its reaction (exerted by fluid in region 1 on fluid in region 2) are equal and opposite. This follows by considering the equilibrium of an infinitesimal slice at P; see Fig. 2.5.2.2.1 cairan dan padatan: tekananJika stres dalam bahan beristirahat selalu normal untuk mengukur permukaan untuk titik P dan permukaan S, bahan yang disebut fluid; Kalau tidak padat. Padatan beristirahat mempertahankan tangensial tekanan karena elastisitas mereka, tetapi fluids sederhana tidak memiliki properti. Dengan mengasumsikan material beristirahat kita menghilangkan stres Distribution akibat gesekan internal. Banyak fluids nyata sesuai erat ini2.5 gambar: Stres dan maka reaksi yang sama dan berlawanan.definition termasuk udara dan air, meskipun ada fluids lebih kompleks yang memiliki kekentalan dan elastisitas. fluid dapat menjadi defined juga sebagai bahan offering ada perlawanan awal untuk geser stres, meskipun itu penting untuk menyadari bahwa gesekan Distribution menekankan muncul segera setelah gerak dimulai, dan bahkan Angkatan terkecil akan memulai gerakan dalam fluid dalam waktu. Properti dari gesekan internal di fluid dikenal sebagai viskositas. Meskipun istilah ketegangan biasa dalam teori elastisitas, dalam fluid dinamika tekanan istilah digunakan untuk menunjukkan tekanan hidrostatik, terbalik dalam tanda. Dalam fluid beristirahat stres kisah biasanya keluar dari permukaan, sedangkan tekanan bertindak normal ke dalam dari fluid terhadap permukaan.2.2.2 Isotropy tekananThe pressure at a point P in a continuous fluid is isotropic; i.e., it is the same for all directions n. This is proved by considering the equilibrium of a small tetrahedral element of fluid with three faces normal to the coordinate axes and one slant face. The proof may be found in any text on fluid mechanics.2.2.3 Pressure gradient forces in a fluid in macroscopic equi- libriumPressure is independent of direction at a point, but may vary from point to point in a fluid. Consider the equilibrium of a thin cylindrical element of fluid PQof length δs and cross-section A, and with its ends normal to PQ. Resolve the forces in the direction P for the fluid at rest. Then pressure acts normally inwards on the curvedcylindrical surface and has no component in the direction of PQ (2.6). Thus the only contributions are from the plane ends.Figure 2.6: Pressure forces on a cylindrical element of fluid.The net force in the direction PQ due to the pressure thrusts on the surface of the element iswhere dV is the volume of the cylinder. In the limit δs→ 0, A→ 0, the net pressure thrust →−(∂p/∂s) dV, or −∂p/∂s = −ˆ s·∇p per unit volume of fluid (ˆ s being a unit vector in the direction PQ). It follows that −∇p is the pressure gradient force per unit volume of fluid, and −ˆ n·∇ p is the component of pressure gradient force per unit volume in the direction ˆ n.Gambar 2.7: Horisontal silinder unsur fluid dalam kesetimbangan.2.2.4 keseimbangan dari elemen horisontalElemen silinder yang ditunjukkan dalam gambar 2.7 adalah dalam kesetimbangan di bawah tindakan dari tekanan atas permukaan dan berat. Menyelesaikan ke arah PQ, arah x, satu-satunya kekuatan yang timbul dari tekanan yang bekerja pada ujungdan karenanya dalam kesetimbangan di batas δV → 0, Selain itu, komponen horisontal kekuatan gradien tekanan per satuan volume adalah −i·∇p = −∂p/∂x = 0, dari asumsi kesetimbangan. Dengan demikian p independen dari jarak horizontal x, dan demikian pula independen dari jarak horizontal y. Dikatakan bahwadan permukaan tekanan sama (isobaric permukaan) melintang di fluid beristirahat.2.2.5 keseimbangan unsur vertikalUntuk elemen silinder vertikal dalam keseimbangan di bawah tindakan dari tekanan tekanan dan berat fluidDengan demikian 1 dz dp = ρg, per satuan volume, sejak p = p(z) hanya (jika tidak, kita akan menulis ∂p ∂z!). Maka ρ = 1 g dp dz adalah fungsi dari z di sebagian besar, yaitu, ρ = ρ(z).2.2.6 cairan dan gasCairan mengalami sedikit perubahan dalam volume dengan tekanan atas serangkaian sangat besar tekanan dan sering ini adalah asumsi yang baik untuk mengasumsikan bahwa ρ = konstan. Dalam hal ini, persamaan terdahulu terintegrasi untuk memberikanp = p0 + ρgz,where p = p0 at the level z = 0. Ideal gases are such that pressure, density and temperature are related through the ideal gas equation, p = ρRT, whereT is the absolute temperature and R is the specific gas constant. If a certain volume of gas is isothermal (i.e., has constant temperature), then pressure and density vary exponentially with depth with a so- called e-folding scale H = RT/g (see Ex. 4).1Here z measuresdownwardsso that sgn(δz) = sgn(δp). Normallywe take z upwards whereupon dp/dz =−ρg.Figure 2.8: Equilibrium forces on a vertical cylindrical element of fluid at rest.2.2.7 Archimedes PrincipleIn a fluid at rest the net pressure gradient force per unit volume acts vertically upwards and is equal to−dp/dz (when z points upwards) and the gravitational force per unit volume is ρg. Hence, for equilibrium, dp/dz =−ρg. Consider the vertically- oriented cylindrical element P1P2 of an immersed body which intersects the surface of the body to form surface elements δS1 and δS2. These surface elements have normals n1, n2 inclined at angles θ1, θ2 to the vertical. The net upward thrust on these small surfaces = p2 cos θ2 δS2 −p1 cos θ1 δS1 =( p2 −p1)δS, where δS1cosθ1 = δS2cosθ2 = δS is the horizontal cross-sectional area of the cylinder. Since the net upward thrust =  z1 z2 ρg dzδS = The weight of liquid displaced by the cylindrical element.If this integration is now continued over the whole body we have Archimedes Principle which states that the resultant thrust on an immersed body has a magnitude equalFigure 2.9: Pressure forces on an immersed body or fluid volume.to the weight of fluid displaced and acts upward through the centre of mass of the displaced fluid (provided that the gravitational field is uniform).Exercises1. If you suck a drink up through a straw it is clear that you must accelerate fluid particles and therefore must be creating forces on the fluid particles near the bottom of the straw by the action of sucking. Give a concise, but careful discussion of the forces acting on an element of fluid just below the open end of the straw.2. Show that the pressure at a point in a fluid at rest is the same in all directions.3. Show that the force per unit volume in the interior of homogeneous fluid is −∇p, and explain how to obtain from this the force in any specific direction. 4. Show that, in hydrostatic equilibrium, the pressure and density in an isothermal atmosphere vary with height according to the formulaep(z)=p(0) exp(−z/HS), ρ(z)=ρ(0) exp(−z/HS), where Hs = RT/g and z points vertically upwards. Show that for realistic values of T in the troposphere, the e-folding height scale is on the order of 8 km.5. A factory releases smoke continuously from a chimney and we suppose that the smoke plume can be detected far down wind. On a particular day the wind is initially from the south at 0900 h and then veers (turns clockwise) steadily until it is from the west at 1100 h. Draw initial and final streamlines at 0900 and 1100 h, a particle path from 0900 h to 1100 h, and filament line from 0900 to 1100 h.6. Show that the streamline through the origin in the flow with uniform velocity (U,V,W) is a straight line and find its direction cosines. 7. Find streamlines for the velocity field u =(αx,−αy,0), where α is constant, and sketch them for the case α>0.
8. Show that the equation for a particle path in steady flow is determined by the differential relationship
where u =(u,v,w) is the velocity at the point (x,y,z). What does this relationship represent in unsteady flow?
9. A stream is broad and shallow with width 8 m, mean depth 0.5 m, and mean speed 1ms−1. What is its volume flux (rate of flow per second) in m3 s−1? It enters a pool of mean depth 3 m and width 6 m: what then is its mean speed? It continues over a waterfall in a single column with mean speed 10ms−1 at its base: what is the mean diameter of this column at the base of the waterfall? Will the diameter of the water column at the top of the waterfall be greater, equal to, or less at its base? Why?
10. Under what condition is the advective rate-of-change equal to the total rate- of-change? 11. Express u·∇and∇·u in Cartesian form and show that they are quite different, one being a scalar function and one a scalar differential operator.

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

dan membiarkan δS menjadi elemen kecil dari S mengandung titik P dan dengan wilayah 1 di bawah ini dan wilayah 2 aboves. Biarkan (δX, δY, δZ) menunjukkan gaya yang bekerja pada fluida di wilayah 1 oleh fl wilayah cairan 2 acrossδS. Kekuatan dasar ini adalah resultan (vektor sum) dari satu set pasukan kontak bertindak di δS, secara umum tidak akan bertindak melalui P; alternatif, resolusi pasukan
akan menghasilkan kekuatan (δX, δY, δZ) bertindak melalui P bersama-sama dengan beberapa SD dengan momen besarnya pada urutan (δS) 1/2 (δX2 + δY 2 + δZ2) 1/2 . Kekuatan utama per satuan luas yang diberikan oleh fluida 2 pada cairan 1 di δS,
disebut berarti stres. Batas sebagai δS → 0 sedemikian rupa sehingga selalu mengandung P, jika ada, adalah stres di P di S. Stres adalah gaya per satuan luas. Stres F umumnya cenderung n normal S pada P, dan bervariasi baik dalam besar dan arah sebagai orientasi n S bervariasi tentang titik yang tetap P. stres F dapat diselesaikan menjadi reaksi normal N, ortension, bertindak normal S dan geser stres T, tangensial ke S, masing-masing per satuan luas.
Gambar 2.4. Stres pada δS elemen permukaan dapat diselesaikan menjadi normal dan tangensial komponen
Perhatikan bahwa dalam batas δS → 0 tidak ada resultan lentur saat seperti
asalkan stres dibatasi. Stres dan reaksinya (diberikan oleh fluida di wilayah 1 pada cairan di wilayah 2) adalah sama dan berlawanan. Ini mengikuti dengan mempertimbangkan keseimbangan dari dalam fi nitesimal slice di P; lihat Gambar. . 2,5
2.2.1 Cairan dan padatan: tekanan
Jika stres dalam bahan saat istirahat selalu normal terhadap permukaan ukur untuk semua titik P dan permukaan S, bahan yang disebut sebagai fluida; selain itu adalah padat. Padatan saat istirahat mempertahankan tekanan tangensial karena elastisitas mereka, tetapi fluida sederhana tidak memiliki properti ini. Dengan asumsi bahan menjadi diam kita menghilangkan tegangan geser akibat gesekan internal. Banyak fluida nyata sesuai erat dengan ini
Gambar 2.5: Stres dan reaksinya adalah sama dan berlawanan.
Definisi termasuk udara dan air, meskipun ada fluida yang lebih kompleks memiliki kedua viskositas dan elastisitas. Sebuah fluida dapat didefinisikan juga sebagai bahan o ff kenai ada perlawanan awal untuk tegangan geser, meskipun penting untuk menyadari bahwa tekanan geser gesekan muncul segera setelah gerakan dimulai, dan bahkan kekuatan terkecil akan memulai gerakan dalam fluida dalam waktu. Properti gesekan internal suatu fluida dikenal sebagai viskositas. Meskipun ketegangan jangka biasa dalam teori elastisitas, dalam dinamika fluida tekanan istilah digunakan untuk menunjukkan stres hidrostatik, terbalik di tanda. Dalam fluida saat istirahat stres bertindak biasanya keluar dari permukaan, sedangkan tekanan bertindak normal ke dalam dari fluida ke arah permukaan.
2.2.2 isotropi tekanan
Tekanan pada titik P dalam cairan terus menerus adalah isotropik; yaitu, itu adalah sama untuk semua arah n. Hal ini terbukti dengan mempertimbangkan keseimbangan elemen tetrahedral kecil cairan dengan tiga wajah normal terhadap sumbu koordinat dan satu miring wajah. Buktinya dapat ditemukan dalam teks pada mekanik fluida.
2.2.3 pasukan Tekanan gradien dalam fluida di makroskopik oksalat Librium
Tekanan independen dari arah pada suatu titik, tetapi dapat bervariasi dari titik ke titik dalam fluida. Mempertimbangkan keseimbangan unsur silinder tipis fl δs panjang PQof uid dan penampang A, dan dengan ujung-ujungnya yang normal untuk PQ. Mengatasi pasukan di P arah untuk fluida saat istirahat. Kemudian tekanan bertindak normal ke dalam pada melengkung
permukaan silinder dan tidak memiliki komponen dalam arah PQ (2,6). Jadi satu-satunya kontribusi yang dari ujung pesawat.
Gambar 2.6:. Pasukan Tekanan pada elemen silinder cairan
Gaya bersih pada PQ arah karena menyodorkan tekanan pada permukaan elemen yang
mana dV adalah volume silinder. Dalam δs batas → 0, A → 0, dorong tekanan net → - (∂p / ∂s) dV, atau -∂p / ∂s = - s · ∇p per satuan volume cairan (s menjadi vektor satuan dalam arah PQ). Oleh karena itu -∇p adalah gaya gradien tekanan per satuan volume cairan, dan - n · ∇ p adalah komponen tekanan kekuatan gradien per satuan volume dalam arah n.
Gambar 2.7: Elemen silinder horizontal cairan di kesetimbangan.
2.2.4 Equilibrium dari elemen horisontal
Unsur silinder ditunjukkan pada Gambar. 2.7 adalah dalam kesetimbangan di bawah tindakan tekanan di permukaannya dan berat. Menyelesaikan di PQ arah, arah-x, satu-satunya kekuatan muncul dari tekanan yang bekerja pada ujung
dan karenanya dalam keseimbangan dalam batas δV → 0,
alternatif, komponen horizontal tekanan kekuatan gradien per satuan volume adalah -i · ∇p = -∂p / ∂x = 0, dari asumsi keseimbangan. Jadi p independen dari jarak horizontal x, dan juga sama independen dari jarak y horisontal. Oleh karena itu
dan permukaan tekanan yang sama (permukaan isobarik) horisontal dalam fluida saat istirahat.
2.2.5 Equilibrium dari elemen vertikal
Untuk elemen vertikal silinder beristirahat dalam kesetimbangan bawah aksi menyodorkan tekanan dan berat cairan
Jadi 1 dp dz = ρg, per satuan volume, karena p = p (z) saja (kalau tidak kita akan menulis ∂p / ∂z!). Oleh karena ρ = 1 g dp dz adalah fungsi dari z paling banyak, yaitu ρ = ρ (z).
2.2.6 Cairan dan gas
cair yang mengalami sedikit perubahan volume dengan tekanan pada rentang yang sangat besar dari tekanan dan sering merupakan asumsi yang baik untuk mengasumsikan bahwa ρ = konstan. Dalam hal ini, persamaan di atas terintegrasi untuk memberikan
p = p0 + ρgz,
di mana p = p0 di z level = 0. gas ideal adalah seperti yang tekanan, densitas dan suhu berhubungan melalui persamaan gas ideal, p = ρRT, whereT adalah temperatur absolut dan R adalah spesifik konstanta gas. Jika volume tertentu gas isotermal (yaitu, memiliki suhu konstan), maka tekanan dan kepadatan bervariasi secara eksponensial dengan kedalaman dengan apa yang disebut e-lipat skala H = RT / g (lihat Kel. 4).
1Here z measuresdownwardsso sgn yang (δz) = sgn (δp). Normallywe mengambil ke atas z dimana dp / dz = -ρg.
Gambar 2.8: Pasukan Equilibrium pada elemen silinder vertikal cairan saat istirahat.
2.2.7 Archimedes Prinsip
Dalam fluida saat istirahat tekanan gaya gradien bersih per satuan volume bertindak secara vertikal ke atas dan sama dengan-dp / dz (ketika poin z ke atas) dan gaya gravitasi per satuan volume adalah ρg. Oleh karena itu, untuk keseimbangan, dp / dz = -ρg. Pertimbangkan P1P2 elemen silinder berorientasi secara vertikal dari badan tenggelam yang memotong permukaan tubuh untuk membentuk elemen permukaan δS1 dan δS2. Elemen permukaan ini memiliki normals n1, n2 cenderung pada sudut θ1, θ2 ke vertikal. Dorongan ke atas bersih pada permukaan ini kecil = p2 cos θ2 δS2 -p1 cos θ1 δS1 = (p2 -p1) δS, di mana δS1cosθ1 = δS2cosθ2 = δS adalah luas penampang horisontal silinder. Sejak
dorong ke atas net = ?? ? z1 z2 ρg dz δS = Berat cairan pengungsi oleh elemen silinder.
Jika integrasi ini sekarang dilanjutkan ke seluruh tubuh kita memiliki Archimedes Prinsip yang menyatakan bahwa thrust yang dihasilkan pada tubuh direndam memiliki magnitudo yang sama
Gambar 2.9: kekuatan Tekanan pada tubuh tenggelam atau volume fluida.
dengan berat fluida yang dipindahkan dan bertindak atas melalui pusat massa dari cairan yang dipindahkan (asalkan gravitasi medan seragam).
Latihan
1. Jika Anda mengisap minum melalui sedotan jelas bahwa Anda harus mempercepat partikel fluida dan karena itu harus menciptakan gaya pada partikel fluida di dekat bagian bawah jerami oleh aksi mengisap. Berikan diskusi ringkas, tapi hati-hati dari gaya yang bekerja pada unsur cairan tepat di bawah ujung terbuka dari jerami.
2. Menunjukkan bahwa tekanan pada titik dalam fluida saat istirahat adalah sama di semua arah.
3. Menunjukkan bahwa gaya per satuan volume di pedalaman homogen cairan adalah -∇p, dan menjelaskan bagaimana untuk mendapatkan dari ini berlaku dalam setiap tertentu arah fi c. 4. Tunjukkan bahwa, dalam kesetimbangan hidrostatik, tekanan dan kepadatan dalam suasana isotermal bervariasi dengan tinggi sesuai dengan formula
p (z) = p (0) exp (-z / HS), ρ (z) = ρ (0) exp (-z / HS), di mana Hs = RT / g dan poin z vertikal ke atas. Menunjukkan bahwa nilai-nilai realistis T di troposfer, skala tinggi e-lipat adalah di urutan 8 km.
5. Sebuah rilis pabrik merokok terus menerus dari cerobong asap dan kami menganggap bahwa bulu-bulu asap dapat dideteksi jauh di bawah angin. Pada hari tertentu angin awalnya dari selatan pada 0900 jam dan kemudian Veers (ternyata searah jarum jam) terus sampai dari barat pada 1100 h. Menggambar awal dan fi nal arus pada 0900 dan 1100 h, jalur partikel dari 0900 h sampai 1100 h, dan garis fi ratapan 0900-1100 h.
6. Menunjukkan bahwa arus melalui asal dalam aliran dengan kecepatan seragam (U, V, W) adalah garis lurus dan mendapati cosinus arahnya. 7. Cari arus untuk kecepatan lapangan u = (αx, -αy, 0), di mana α adalah konstan, dan sketsa mereka untuk kasus α> 0.
8. Tunjukkan bahwa persamaan untuk jalur partikel di stabil aliran ditentukan oleh di ff hubungan erential
mana u = (u, v, w) adalah kecepatan pada titik (x, y, z). Apa hubungan ini mewakili dalam goyah aliran?
9. Sebuah stream adalah luas dan dangkal dengan lebar 8 m, berarti kedalaman 0,5 m, dan berarti kecepatan 1ms-1. Apa volume fluks (tingkat aliran per detik) di m3 s-1? Memasuki kolam rata-rata kedalaman 3 m dan lebar 6 m: apa itu adalah kecepatan rata-rata yang? Hal ini terus di atas air terjun dalam satu kolom dengan mean kecepatan 10 ms-1 pada dasarnya: apa adalah diameter rata-rata kolom ini di dasar air terjun? Akan diameter kolom air di bagian atas air terjun lebih besar, sama dengan, atau kurang pada dasarnya? Mengapa?
10. Dalam kondisi apa adalah adveksi tingkat-of-perubahan sama dengan total tingkat-of-perubahan? 11. ekspres u · ∇and∇ · u dalam bentuk Cartesian dan menunjukkan bahwa mereka cukup di ff erent, salah satu yang menjadi fungsi skalar dan satu skalar di operator yang ff erential.