9.3 ARIMA ForecastingFor ARIMA mode

9.3 ARIMA ForecastingFor ARIMA models, the forecasts can be expressed in several different ways. Eachexpression contributes to our understanding of the overall forecasting procedure withrespect to computing, updating, assessing precision, or long-term forecasting behavior.AR(1)We shall first illustrate many of the ideas with the simple AR(1) process with a nonzeromean that satisfies(9.3.1)Consider the problem of forecasting one time unit into the future. Replacing t by t + 1 inEquation (9.3.1), we have(9.3.2)Given Y1, Y2,…, Yt − 1, Yt, we take the conditional expectations of both sides of Equation(9.3.2) and obtain(9.3.3)Now, from the properties of conditional expectation, we have(9.3.4)Also, since et + 1 is independent of Y1, Y2, …, Yt − 1, Yt, we obtain(9.3.5)Thus, Equation (9.3.3) can be written as(9.3.6)In words, a proportion φ of the current deviation from the process mean is added to theprocess mean to forecast the next process value.Now consider a general lead time l. Replacing t by t + l in Equation (9.3.1) and taking the conditional expectations of both sides produces(9.3.7)since and, for l ≥ 1, et + l is independent of Y1,Y2, …, Yt − 1, Yt.μ^t = 46.2660 26.7079 + + ( ) – cos 2.1697 ( ) 2π( ) 1976.41667 ( ) – sin( ) 2π( ) 1976.41667= 68.3 °FYt – μ φ Yt – 1 ( ) – μ et = +Yt + 1 – μ φ Yt ( ) – μ et + 1 = +Y^t() μ 1 – φ E Yt|Y1 Y2 … Yt [ ] ( )μ ,,, – E et + 1|Y1 Y2 … Yt = + ( ) ,,,E Yt|Y1 Y2 … Yt ( ) ,,, Yt =E et + 1|Y1 Y2 … Yt ( ) ,,, E et + 1 = = ( ) 0Y^t() μ φ 1 Yt = + ( ) – μY^t() μ φ l Y^t = for + [ ] ( )μ l – 1 – l ≥ 1E Yt + l – 1|Y1 Y2 … Yt ( ) ,,, Y^t = ( ) l – 1194 ForecastingEquation (9.3.7), which is recursive in the lead time l, shows how the forecast forany lead time l can be built up from the forecasts for shorter lead times by starting withthe initial forecast computed using Equation (9.3.6). The forecast is thenobtained from , then from , and so on until thedesired is found. Equation (9.3.7) and its generalizations for other ARIMA modelsare most convenient for actually computing the forecasts. Equation (9.3.7) is sometimescalled the difference equation form of the forecasts.However, Equation (9.3.7) can also be solved to yield an explicit expression for theforecasts in terms of the observed history of the series. Iterating backward on l in Equation (9.3.7), we haveor(9.3.8)The current deviation from the mean is discounted by a factor φl, whose magnitudedecreases with increasing lead time. The discounted deviation is then added to the process mean to produce the lead l forecast.As a numerical example, consider the AR(1) model that we have fitted to the industrial color property time series. The maximum likelihood estimation results were partially shown in Exhibit 7.7 on page 165, but more complete results are shown in Exhibit9.1.Exhibit 9.1 Maximum Likelihood Estimation of an AR(1) Model for Color> data(color)> m1.color=arima(color,order=c(1,0,0))> m1.colorFor illustration purposes, we assume that the estimates φ = 0.5705 and μ = 74.3293 aretrue values. The final forecasts may then be rounded.Coefficients: ar1 intercept††Remember that the intercept here is the estimate of the process mean μ—not θ0.0.5705 74.3293s.e. 0.1435 1.9151sigma^2 estimated as 24.8: log-likelihood = −106.07, AIC = 216.15Y^t( ) 1 Y^t( ) 2Y^t() μ φ 2 Y^t = + [ ] () μ 1 – Y^t( ) 3 Y^t( ) 2Y^t( )lY^t() φ l Y^t = [ ]μ ( )μ l – 1 – +φ φ Y^t = { }μ [ ] ( )μ l – 2 – +...φl – 1 Y^t = [ ]μ () μ 1 – +Y^t() μ φ l l Yt = + ( )

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

9.3 ARIMA Peramalan
Untuk model ARIMA, perkiraan dapat dinyatakan dalam beberapa cara berbeda. Setiap
ekspresi memberikan kontribusi untuk pemahaman kita tentang prosedur peramalan secara keseluruhan dengan
sehubungan dengan komputasi, memperbarui, menilai presisi, atau perilaku peramalan jangka panjang.
AR (1)
Kami pertama akan menggambarkan banyak ide dengan AR sederhana (1) proses dengan nol
berarti bahwa memenuhi
(9.3.1)
Pertimbangkan masalah peramalan satu satuan waktu ke masa depan. Mengganti t oleh t + 1 di
Persamaan (9.3.1), kita memiliki
(9.3.2)
Mengingat Y1, Y2, ..., Yt - 1, Yt
, kita mengambil harapan bersyarat dari kedua sisi persamaan
(9.3.2) dan memperoleh
(9.3.3)
Sekarang, dari sifat-sifat ekspektasi bersyarat, kita memiliki
(9.3.4)
Juga, karena et + 1 adalah independen dari Y1, Y2, ..., Yt - 1, Yt
, kita memperoleh
(9.3.5)
Dengan demikian, Persamaan (9.3. 3) dapat ditulis sebagai
(9.3.6)
kata, sebuah φ proporsi deviasi arus dari mean proses ditambahkan ke
berarti proses untuk meramalkan nilai proses selanjutnya.
Sekarang perhatikan waktu memimpin umum l. Mengganti t oleh t + l dalam Persamaan (9.3.1) dan mengambil harapan bersyarat dari kedua belah pihak menghasilkan
(9.3.7)
sejak dan, untuk l ≥ 1, et + l
independen dari Y1,
Y2, ..., Yt - 1 , Yt
.
μ ^
t = 46,2660 26,7079 + + () - cos 2,1697 () 2π () 1976,41667 () - sin () 2π () 1976,41667
= 68,3 ° F
Yt - μ φ Yt - 1 () - μ et = +
Yt + 1 - μ φ Yt () - μ et + 1 = +
Y
^
t
() μ 1 - φ E Yt
| Y1 Y2 ... Yt [] () μ ,,, - E et + 1 | Y1 Y2 ... Yt = + () ,,,
E Yt
| Y1 Y2 ... Yt () ,,, Yt =
E et + 1 | Y1 Y2 ... Yt () ,,, E et + 1 = = () 0
Y
^
t
() μ φ 1 Yt = + () - μ
Y
^
t
() μ φ l Y
^
t = untuk + [] () μ l - 1 - l ≥ 1
E Yt + l - 1 | Y1 Y2 ... Yt () ,,, Y
^
t = () l - 1
194 Peramalan
Persamaan (9.3.7), yang merupakan rekursif dalam memimpin waktu l, menunjukkan bagaimana ramalan untuk
setiap lead time l dapat dibangun dari perkiraan waktu tempuh lebih pendek dengan memulai dengan
perkiraan awal dihitung Persamaan (9.3.6). Perkiraan tersebut kemudian
diperoleh dari, kemudian dari, dan seterusnya sampai
yang diinginkan ditemukan. Persamaan (9.3.7) dan generalisasi untuk model ARIMA lainnya
yang paling nyaman untuk benar-benar menghitung perkiraan. Persamaan (9.3.7) kadang-kadang
disebut bentuk persamaan perbedaan perkiraan.
Namun, Persamaan (9.3.7) juga dapat diselesaikan untuk menghasilkan ekspresi eksplisit untuk
prakiraan dalam hal sejarah diamati dari seri. Iterasi mundur pada l dalam Persamaan (9.3.7), kita memiliki
atau
(9.3.8)
Penyimpangan arus dari mean didiskon oleh φl faktor
, Besarnya yang
menurun dengan meningkatnya lead time. Penyimpangan diskon kemudian ditambahkan ke mean proses untuk menghasilkan perkiraan l memimpin.
Sebagai contoh numerik, mempertimbangkan AR (1) model yang kita telah dipasang dengan warna industri waktu properti series. Hasil estimasi kemungkinan maksimum yang sebagian ditampilkan di pameran 7.7 pada halaman 165, namun hasil yang lebih lengkap akan ditampilkan di pameran
9.1.
Pameran 9.1 Kemungkinan Maksimum Estimasi dari AR (1) Model Warna
> data (warna)
> m1.color = arima (warna, order = c (1,0,0))
> m1.color
Untuk tujuan ilustrasi, kita menganggap bahwa perkiraan φ = 0,5705 dan μ = 74,3293 adalah
nilai-nilai yang benar. Perkiraan akhir maka mungkin bulat.
Koefisien: AR1 intercept †
†
Ingat bahwa intercept di sini adalah estimasi proses rata μ-tidak θ0.
0,5705 74,3293
s.e. 0,1435 1,9151
sigma ^ 2 diperkirakan sebagai 24,8: log-likelihood = -106,07, AIC = 216,15
Y
^
t
() 1 Y
^
t
() 2
Y
^
t
() μ φ 2 Y
^
t = + [] () μ 1 - Y
^
t
() 3 Y
^
t
() 2
Y
^
t
() l
Y
^
t
() φ l Y
^
t = [] μ () μ l - 1 - +
φ φ Y
^
t = {} μ [] () μ l - 2 - +
.
.
.
φl - 1 Y
^
T = [] μ () μ 1 - +
Y
^
t
() μ φ ll Yt = + ()

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

9,3 ARIMA Forecasting
Untuk model ARIMA, ramalan dapat dinyatakan dalam beberapa cara yang berbeda. Setiap
memberikan kontribusi pada pemahaman kita tentang prosedur peramalan secara
mempertimbangkan komputasi, pembaruan, penilaian ketepatan, atau perilaku peramalan jangka panjang.
AR (1)
Kita pertama-tama akan mengilustrasikan banyak gagasan dengan proses AR (1) sederhana dengan nol
berarti bahwa memenuhi
9.3.1
Pertimbangkan masalah peramalan satu unit waktu ke masa depan. Mengganti t dengan t + 1 dalam
Persamaan (9.3.1), kita memiliki
9.3.2
Mengingat y1, Y2,..., YT − 1, YT
, kita mengambil harapan bersyarat dari kedua sisi persamaan
(9.3.2) dan memperoleh
9.3.3
Sekarang, dari sifat harapan bersyarat, kita memiliki
9.3.4
Juga, karena et + 1 adalah independen dari y1, Y2,..., YT − 1, YT
, kita mendapatkan
9.3.5
Dengan demikian, persamaan (9.3.3) dapat ditulis sebagai
9.3.6
Dalam kata-katanya, sebuah proporsi φ dari penyimpangan saat ini dari proses berarti ditambahkan ke
proses berarti untuk meramalkan nilai proses berikutnya.
Sekarang Pertimbangkan waktu memimpin umum l. mengganti t dengan t + l dalam persamaan (9.3.1) dan mengambil harapan bersyarat dari kedua belah pihak menghasilkan
(9.3.7)
sejak dan, untuk l ≥ 1, et + l
independen dari y1,
Y2,..., YT − 1, YT
.
μ ^ (Inggris)
t = 46,2660 26,7079 + + () – cos 2,1697 () 2π () 1976,41667 () – Sin () 2π () 1976,41667
= 68,3 ° f
YT-μ φ YT-1 ()-μ et = +
YT + 1 – μ φ YT () – μ et + 1 = +
Y
^
T
() μ 1 – φ E YT
| Y1 Y2... YT [] () μ,,, – E et + 1 | Y1 Y2... YT = + (),,,
E YT
| Y1 Y2... YT (),,, YT =
E et + 1 | Y1 Y2... YT (),,, E et + 1 = = () 0
Y
^
T
() μ φ 1 YT = + () – μ
Y
^
T
() μ φ l Y
^
t = untuk + [] () μ l-1-l ≥ 1
E YT + l-1 | Y1 Y2... YT (),,, Y
^
t = () l – 1
194 peramalan
Persamaan (9.3.7), yang rekursif dalam memimpin waktu l, menunjukkan bagaimana perkiraan untuk
l dapat dibangun dari perkiraan untuk waktu Lead yang lebih pendek dengan memulai
perkiraan awal dihitung menggunakan persamaan (9.3.6). Ramalan ini kemudian
Diperoleh dari, kemudian dari, dan seterusnya sampai
yang diinginkan ditemukan. Persamaan (9.3.7) dan generalisasinya untuk model ARIMA lainnya
yang paling nyaman untuk sebenarnya menghitung perkiraan. Persamaan (9.3.7) terkadang
disebut bentuk persamaan perbedaan dari perkiraan.
Namun, persamaan (9.3.7) juga dapat diselesaikan untuk menghasilkan ekspresi eksplisit untuk
Prakiraan dalam hal sejarah yang diamati dari seri. Iterasi ke belakang pada l dalam persamaan (9.3.7), kita telah
Atau
(9.3.8)
Penyimpangan saat ini dari mean adalah diskon oleh faktor φl
, yang besarnya
berkurang seiring bertambahnya waktu Lead. Deviasi diskon kemudian ditambahkan ke proses berarti untuk menghasilkan memimpin l ramalan.
Sebagai contoh numerik, pertimbangkan AR (1) model yang kita telah dipasang untuk warna industri properti seri waktu. Hasil estimasi kemungkinan maksimum yang sebagian ditampilkan dalam pameran 7,7 pada halaman 165, tetapi hasil yang lebih lengkap ditampilkan dalam pameran
9,1.
Bukti 9,1 maksimum perkiraan kemungkinan AR (1) model untuk warna
> data (warna)
> M1. Color = Arima (warna, urutan = c (1, 0, 0))
> M1. Color
Untuk tujuan ilustrasi, kita berasumsi bahwa perkiraan φ = 0,5705 dan μ = 74,3293
nilai benar. Perkiraan akhir mungkin kemudian dibulatkan.
Koefisien: ar1 mencegat †
†
Ingat bahwa mencegat di sini adalah perkiraan proses berarti μ-tidak θ0.
0,5705 74,3293
s.e. 0,1435 1,9151
Sigma ^ 2 diperkirakan sebagai 24,8: log-kemungkinan = − 106,07, AIC = 216,15
Y
^
T
() 1 Y
^
T
() 2
Y
^
T
() μ φ 2 Y
^
t = + [] () μ 1 – Y
^
T
() 3 Y
^
T
() 2
Y
^
T
() l
Y
^
T
() φ l Y
^
t = [] μ () μ l – 1 – +
φ φ Y
^
t = {} μ [] () μ l – 2 – +
.
.
.
φl – 1 Y
^
t = [] μ () μ 1 – +
Y
^
T
() μ φ l l YT = + ()