Julia setFrom Wikipedia, the free e

Julia set
From Wikipedia, the free encyclopedia


A Julia set
File:Julia set 3d slice animation.ogg

Three-dimensional slices through the (four-dimensional) Julia set of a function on the quaternions.
In the context of complex dynamics, a topic of mathematics, the Julia set and the Fatou set are two complementary sets defined from a function. Informally, the Fatou set of the function consists of values with the property that all nearby values behave similarly under repeated iteration of the function, and the Julia set consists of values such that an arbitrarily small perturbation can cause drastic changes in the sequence of iterated function values. Thus the behavior of the function on the Fatou set is 'regular', while on the Julia set its behavior is 'chaotic'.
The Julia set of a function f is commonly denoted J(f), and the Fatou set is denoted F(f).[1] These sets are named after the French mathematicians Gaston Julia[2] and Pierre Fatou[3] whose work began the study of complex dynamics during the early 20th century.
Contents [hide]
1 Formal definition
2 Equivalent descriptions of the Julia set
3 Properties of the Julia set and Fatou set
4 Examples
5 Quadratic polynomials
6 Examples of Julia sets
7 Generalizations
8 The potential function and the real iteration number
9 Field lines
10 Distance estimation
11 Plotting the Julia set
11.1 Using backwards (inverse) iteration (IIM)
11.2 Using DEM/J
12 See also
13 References
14 External links
Formal definition[edit]

Let f(z) be a complex rational function from the plane into itself, that is, f(z) = p(z)/q(z), where p(z) and q(z) are complex polynomials. Then there are a finite number of open sets F1, ..., Fr, that are left invariant by f(z) and are such that:
the union of the Fi's is dense in the plane and
f(z) behaves in a regular and equal way on each of the sets Fi.
The last statement means that the termini of the sequences of iterations generated by the points of Fi are either precisely the same set, which is then a finite cycle, or they are finite cycles of circular or annular shaped sets that are lying concentrically. In the first case the cycle is attracting, in the second it is neutral.
These sets Fi are the Fatou domains of f(z), and their union is the Fatou set F(f) of f(z). Each of the Fatou domains contains at least one critical point of f(z), that is, a (finite) point z satisfying f'(z) = 0, or z = ∞, if the degree of the numerator p(z) is at least two larger than the degree of the denominator q(z), or if f(z) = 1/g(z) + c for some c and a rational function g(z) satisfying this condition.
The complement of F(f) is the Julia set J(f) of f(z). J(f) is a nowhere dense set (it is without interior points) and an uncountable set (of the same cardinality as the real numbers). Like F(f), J(f) is left invariant by f(z), and on this set the iteration is repelling, meaning that |f(z) - f(w)| > |z - w| for all w in a neighbourhood of z (within J(f)). This means that f(z) behaves chaotically on the Julia set. Although there are points in the Julia set whose sequence of iterations is finite, there are only a countable number of such points (and they make up an infinitely small part of the Julia set). The sequences generated by points outside this set behave chaotically, a phenomenon called deterministic chaos.
There has been extensive research on the Fatou set and Julia set of iterated rational functions, known as rational maps. For example, it is known that the Fatou set of a rational map has either 0,1,2 or infinitely many components.[4] Each component of the Fatou set of a rational map can be classified into one of four different classes.[5]
Equivalent descriptions of the Julia set[edit]

J(f) is the smallest closed set containing at least three points which is completely invariant under f.
J(f) is the closure of the set of repelling periodic points.
For all but at most two points z ∈ X, the Julia set is the set of limit points of the full backwards orbit igcup_n f^{-n}(z). (This suggests a simple algorithm for plotting Julia sets, see below.)
If f is an entire function, then J(f) is the boundary of the set of points which converge to infinity under iteration.
If f is a polynomial, then J(f) is the boundary of the filled Julia set; that is, those points whose orbits under iterations of f remain bounded.
Properties of the Julia set and Fatou set[edit]

The Julia set and the Fatou set of f are both completely invariant under iterations of the holomorphic function f:[6]
f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f)
f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f)
Examples[edit]

For f(z) = z^{2} the Julia set is the unit circle and on this the iteration is given by doubling of angles (an operation that is chaotic on the points whose argument is not a rational fraction of 2pi). There are two Fatou domains: the interior and the exterior of the circle, with iteration towards 0 and ∞, respectively.
For f(z) = z^{2} - 2 the Julia set is the line segment between −2 and 2. There is one Fatou domain: the points not on the line segment iterate towards ∞. (Apart from a shift and scaling of the domain, this iteration is equivalent to x o 4(x - frac{1}{2})^{2} on the unit interval, which is commonly used as an example of chaotic system.)
These two functions are of the form z^2 + c, where c is a complex number. For such an iteration the Julia set is not in general a simple curve, but is a fractal, and for some values of c it can take surprising shapes. See the pictures below.


Julia set (in white) for the rational function associated to Newton's method for f : z→z3−1. Coloring of Fatou set according to attractor (the roots of f)
For some functions f(z) we can say beforehand that the Julia set is a fractal and not a simple curve. This is because of the following result on the iterations of a rational function:
Theorem. Each of the Fatou domains has the same boundary, which consequently is the Julia set.
This means that each point of the Julia set is a point of accumulation for each of the Fatou domains. Therefore, if there are more than two Fatou domains, each point of the Julia set must have points of more than two different open sets infinitely close, and this means that the Julia set cannot be a simple curve. This phenomenon happens, for instance, when f(z) is the Newton iteration for solving the equation zn = 1 for n > 2:
f(z) = z - frac{f(z)}{f'(z)} = frac{1 + (n-1)z^n}{nz^{n-1}}.
The image on the right shows the case n = 3.
Quadratic polynomials[edit]

A very popular complex dynamical system is given by the family of quadratic polynomials, a special case of rational maps. The quadratic polynomials can be expressed as
f_c(z) = z^2 + c
where c is a complex parameter.

Filled Julia set for fc, c=1−φ where φ is the golden ratio



Julia set for fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i



Julia set for fc, c=0.285+0i



Julia set for fc, c=0.285+0.01i



Julia set for fc, c=0.45+0.1428i



Julia set for fc, c=-0.70176-0.3842i



Julia set for fc, c=-0.835-0.2321i



Julia set for fc, c=-0.8+0.156i



A Julia set plot showing Julia sets for different values of c; it resembles the Mandelbrot set
The parameter plane of quadratic polynomials - that is, the plane of possible c-values - gives rise to the famous Mandelbrot set. Indeed, the Mandelbrot set is defined as the set of all c such that J(f_c) is connected. For parameters outside the Mandelbrot set, the Julia set is a Cantor space: in this case it is sometimes referred to as Fatou dust.
In many cases, the Julia set of c looks like the Mandelbrot set in sufficiently small neighborhoods of c. This is true, in particular, for so-called 'Misiurewicz' parameters, i.e. parameters c for which the critical point is pre-periodic. For instance:
At c = i, the shorter, front toe of the forefoot, the Julia set looks like a branched lightning bolt.
At c = −2, the tip of the long spiky tail, the Julia set is a straight line segment.
In other words the Julia sets J(f_c) are locally similar around Misiurewicz points.[7]
Examples of Julia sets[edit]


f(z) = z2 + 0.279


f(z) = z3 + 0.400


f(z) = z4 + 0.484


f(z) = z5 + 0.544


f(z) = z6 + 0.590


f(z) = z7 + 0.626


f(z) = exp(z) - 0.65


f(z) = exp(z3) - 0.59


f(z) = exp(z3) - 0.621


f(z) = z * exp(z) + 0.04


f(z) = z2 * exp(z) + 0.21


f(z) = z3 * exp(z) + 0.33


f(z) = z4 * exp(Z) + 0.41


f(z) = Sqr[Sinh(z2)] + (0.065,0.122i)


f(z) = [(z2+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)
Generalizations[edit]

The definition of Julia and Fatou sets easily carries over to the case of certain maps whose image contains their domain; most notably transcendental meromorphic functions and Adam Epstein's finite-type maps.
Julia sets are also commonly defined in the study of dynamics in several complex variables.
The potential function and the real iteration number[edit]

The Julia set for f(z) = z^{2} is the unit circle, and on the outer Fatou domain, the potential function φ(z) is defined by φ(z) = log|z|. The equipotential lines for this function are concentric circles. As |f(z)| = |z|^{2} we have
varphi(z) = lim_{k oinfty} frac{log|z_k|}{2^k},
where z_k is the sequence of iteration generated by z. For the more general iteration f(z) = z^2 + c, it has been proved that if the Julia set is connected (that is, if c belongs to the (usual) Mandelbrot set), then there exist a biholomorphic map ψ between the outer Fatou domain and the outer of the unit circle such that |psi(f(z))| = |psi(z)|^{2}.[8] This means that the potential function on the outer Fatou domain defined by this correspondence is given by:
varphi(z) = lim_{k oinfty} frac{log|z_k|}{2^k}.
This formula has meaning also if the Julia set is not connected, so that we for all c can define the potential function on the Fatou domain containing ∞ by this formula. For a general rational function f(z) such that ∞ is a critical point and a fixed point, that is, such that the degree m of the numerator is at least two larger than the degree n

Hasil (Swensk) 1:

Julia setFrån Wikipedia, den fria encyklopedinEn Julia uppsättningFile:Julia ange 3d skiva animation.ogg Tredimensionella skivor genom en funktion på quaternions (fyrdimensionell) Julia uppsättningen.I samband med komplexa dynamics, ett ämne av matematik, Julia uppsättningen och Fatou uppsättningen är två kompletterande uppsättningar definieras från en funktion. Informellt, består Fatou funktionen består av värden med egenskapen att alla närliggande värden beter sig på samma sätt under upprepade iteration av funktionen, och Juliaen av värdena så att ett godtyckligt liten störning kan orsaka drastiska förändringar i sekvensen av upprepade funktion värden. Således är uppförandet av funktionen på den Fatou som "vanliga", medan på Julia uppsättningen dess beteende är "kaotisk".Julia en fungera f är vanligen betecknas J(f), och Fatou är betecknas F(f). [1] dessa uppsättningar är uppkallade efter de franska mathematiciansna Gaston Julia [2] och Pierre Fatou [3] vars arbete började studien av komplexa dynamik under tidigt 1900-tal.Innehåll [Dölj] 1 formell definition2 motsvarande beskrivningar av Julia uppsättningen3 Julia set och Fatou uppsättning egenskaper4 exempel5 kvadratiska polynom6 exempel av Julia uppsättningar7 generaliseringar8 den potentiella funktionen och antalet verkliga iteration9 fältlinjer10 avståndet uppskattning11 plottning Julia uppsättningen11.1 med bakåt (omvänd) iteration (IIM)11.2 med Mark/J12 se även13 referenser14 externa länkarFormell definition [redigera]Låt f(z) vara en komplex rational funktion från planet till sig själv, dvs f(z) = p(z)/q(z), där p(z) och q(z) är komplexa polynom. Sedan finns det ett begränsat antal öppna uppsättningar F1,..., Fr, som är kvar invarianta av f(z) och är sådan att:unionen av Fi är tät i planet ochf(z) beter sig i en regelbunden och lika långt på varje typ Fi.Den sista uttalandet innebär att termini av sekvenser av iterationerna alstras av pekar av Fi är antingen exakt samma in, som är sedan en ändlig cykel, eller de är ändliga cykler av cirkulär eller ringformig formade uppsättningar som ljuger koncentriskt. I det första fallet cykeln lockar, i andra är det neutrala.Dessa apparater Fi är Fatou domänerna av f(z), och deras union är Fatou ställa in F(f) för f(z). Fatou domänerna innehåller minst en kritisk punkt för f(z), det vill säga en (ändlig) punkt z som uppfyller f'(z) = 0 eller z = ∞, om graden av täljaren p(z) är minst två större än graden av nämnaren q(z) eller om f(z) = 1/g(z) + c i del c och ett rationellt funktion g(z) uppfyller detta villkor.Ett komplement till F(f) är Juliaen som J(f) av f(z). J(f) är en ingenstans tät mängd (det är utan inre punkter) och ett oräkneligt antal (den samma kardinaliteten som det verkligt numrerar). Som F(f), J(f) lämnas invarianta av f(z), och på denna uppsättning är iterationen repellerande, vilket innebär att |f(z) - f (w) | > |z - w| för alla w i ett område i z (inom J(f)). Detta innebär att f(z) beter sig kaotiskt på Julia uppsättningen. Även om det finns punkter i Julia uppsättningen vars iterationer är ändliga, det finns bara en räknebart antal sådana punkter (och de gör upp en oändligt liten del av Julia). De sekvenser som genereras av punkter utanför denna uppsättning uppför kaotiskt, ett fenomen som kallas deterministiskt kaos.Det har varit omfattande forskning på Fatou set och Julia uppsättning upprepade rationella funktioner, känd som rationell kartor. Till exempel är det känt att den Fatou uppsättningen en rationell karta har antingen 0,1,2 eller oändligt många komponenter. [4] varje komponent av Fatou uppsättning en rationell karta kan delas in i fyra olika klasser. [5]Motsvarande beskrivningar av Julia uppsättningen [redigera]J(f) är den minsta slutna uppsättning som innehåller minst tre punkter som är helt invarianta under f.J(f) är nedläggningen av uppsättningen repellerande periodiska poäng.För alla men mest två poäng z ∈ X är Julia gräns punktmängden av fullständiga omloppsbana bakåt igcup_n f^{-n}(z). (Detta tyder på en enkel algoritm för plottning Julia uppsättningar, se nedan.)Om f är en hela funktionen, då är J(f) gränsen för en uppsättning punkter som konvergerar till oändlighet under iteration.Om f är ett polynom, då är J(f) gränsen för fyllda Julia uppsättningen; de pekar, vars omlopp under iterationer av f förbli begränsad.Egenskaper av Juliaen och Fatou [redigera]Julia uppsättningen i och f Fatou är båda helt invarianta under iterationer av holomorf funktion f: [6]f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f)f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f)Exempel [redigera]För f(z) = z ^ {2} Juliaen som är enhetscirkeln och om detta ges iterationen av fördubbling av vinklar (en operation som är kaotiskt på de punkter vars argument inte är ett rationellt bråkdel av 2pi). Det finns två Fatou domäner: inre och yttre cirkeln, med iteration mot 0 och ∞, respektive.För f(z) = z ^ {2}-2 Juliaen som är linjesegmentet mellan −2 och 2. Det finns en Fatou domän: punkterna inte på linjesegmentet går mot ∞. (bortsett från en förskjutning och skalning av domänen, denna iteration är motsvarar x o 4 (x - frac {1} {2}) ^ {2} på enheten intervallet, som vanligen används som ett exempel på kaotiska system.)Dessa två funktioner är av form z ^ 2 + c, där c är ett komplext tal. För sådan en iteration av Julia set i allmänhet inte är en enkel kurva, men är en fraktal, och för vissa värden på c kan det ta överraskande former. Se bilder nedan.Julia som (i vitt) för funktionen rational associerade till Newtons metod för f: z→z3−1. Färgning av Fatou inställd enligt attraktor (f rötter)F(z) kan vi förväg att Juliaen som är en fraktal och inte en enkel kurva för vissa funktioner. Detta är på grund av upprepningar av ett rationellt fungerar följande resultat:Sats. Fatou domänerna har samma gränsen, vilket följaktligen är Julia uppsättningen.Detta innebär att varje punkt av Julia uppsättningen är en punkt av ackumulation för Fatou domänerna. Därför, om det finns fler än två Fatou domäner, pekar varje av Julia uppsättningen måste poäng av fler än två olika öppna uppsättningar oändligt nära, och detta innebär att Julia uppsättningen inte kan vara en enkel kurva. Detta fenomen händer, till exempel när f(z) är Newton iteration för att lösa ekvationen zn = 1 för n > 2:f(z) = z - frac{f(z)}{f'(z)} = frac {1 + (n-1) z ^ n} {nz ^ {n-1}}.Bilden till höger visar fallet n = 3.Kvadratisk polynom [redigera]En mycket populär komplexa dynamiska system ges av familjen av kvadratiska polynom, ett specialt fall av rationella kartor. De kvadratiska polynom kan uttryckas somf_c(z) = z ^ 2 + cdär c är en komplex parameter.Fyllda Julia som för fc, c = 1−φ där φ är det gyllene snittet Julia som för fc, c = (φ−2) + (φ−1) jag =-0,4 + 0.6i Julia som för fc, c = 0.285 + 0i Julia som för fc, c = 0.285 + 0.01i Julia som för fc, c = 0,45 + 0.1428i Julia som för fc, c =-0.70176-0.3842i Julia som för fc, c =-0.835-0.2321i Julia som för fc, c =-0,8 + 0.156i En Julia ange tomt visar Julia anger för olika värden på c; Det liknar MandelbrotmängdenKvadratisk polynom - det vill säga plan c-värden - parametern plan ger upphov till den berömda Mandelbrotmängden. Ja, Mandelbrotmängden definieras som uppsättningen av alla c sådan att J(f_c) är ansluten. För parametrar utanför Mandelbrotmängden, är Julia en Kantor utrymme: i det här fallet det ibland kallas Fatou damm.I många fall liknar Julia uppsättningen av c Mandelbrot i tillräckligt små kvarter c. Detta gäller särskilt för så kallade 'Misiurewicz' parametrar, dvs parametrar c som den kritiska punkten är pre periodiska. Till exempel:= I, kortare, främre tån på framfoten, Julia uppsättning ser ut som en förgrenad blixt vid c.C = −2, spetsen på den långa taggiga svansen, Julia är en rak linje-segment.Med andra ord är Julia uppsättningar J(f_c) lokalt liknande runt Misiurewicz poäng. [7]Exempel på Julia uppsättningar [redigera]f(z) = z2 + 0.279 f(z) = z3 + 0.400 f(z) = z4 + 0,484 f(z) = z5 + 0.544 f(z) = z6 + 0.590 f(z) = z7 + 0.626 f(z) = exp(z) - 0,65 f(z) = exp(z3) - 0,59 f(z) = exp(z3) - 0.621 f(z) = z * exp(z) + 0,04 f(z) = z2 * exp(z) + 0,21 f(z) = z3 * exp(z) + 0.33 f(z) = z4 * exp(Z) + 0,41 f(z) = Sqr[Sinh(z2)] + (0.065,0.122i) f(z) = [(z2+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)Generaliseringar [redigera]Definitionen av Julia och Fatou ner lätt bär över fallet med vissa kartor vars bild innehåller deras domän. framför allt transcendentala meromorfa funktioner och Adam Epstein finite-typ kartor.Julia uppsättningar definieras också ofta i studier av dynamik i flera komplexa variabler.Funktionen potentiella och verkliga iteration nummer [redigera]Juliaen som för f(z) = z ^ {2} är enhetscirkeln, och på den yttre Fatou domänen, den potentiella funktionen φ(z) definieras av φ(z) = log|z|. De equipotential linjerna för den här funktionen är koncentriska cirklar. Som f (z) | = |z| ^ {2} har vivarphi(z) = lim_ {k oinfty} frac {log|z_k|} {2 ^ k},där z_k är sekvensen av iteration genereras av z. För den mer allmänna iteration f(z) = z ^ 2 + c, det är bevisat att om Juliaen är ansluten (d.v.s. om c tillhör (vanliga) Mandelbrotmängden), då det finns en biholomorphic karta ψ mellan den yttre Fatou domänen och den yttre av enhetscirkeln sådan som |psi(f(z)) | = |psi (z) | ^ {2}. [8] Detta innebär att den potentiella funktionen på den yttre Fatou domän definieras av denna korrespondens ges av:varphi(z) = lim_ {k oinfty} frac {log|z_k|} {2 ^ k}. Denna formel har menande också om Julia uppsättningen inte är ansluten, så att vi för alla c kan definiera potentiella funktionen på Fatou domänen som innehåller ∞ av denna formel. För en allmän rational funktion f(z) är som ∞ en kritisk punkt och en fast punkt, det vill säga sådan att den grad m av täljaren är minst två större än grad n

Hasil (Swensk) 2:

Julia set
Från Wikipedia, den fria encyklopedin A julia set Fil: julia set 3d skiva animation.ogg Tredimensionella skivor genom (fyrdimensionella) julia uppsättning av en funktion på quaternions. I samband med komplexa dynamik, ett ämne av matematik, Julia uppsättningen och Fatou uppsättningen är två kompletterande uppsättningar definierade från en funktion. Informellt den Fatou uppsättningen av funktionen består av värden med den egendom som alla närliggande värden beter sig på samma sätt inom ramen för upprepad iteration av funktionen, och Julia set består av värden så att en godtyckligt liten störning kan leda till drastiska förändringar i sekvensen av itererad funktion värden. Således beteende funktionen på Fatou uppsättningen är "vanliga", medan på Julia set dess beteende är "kaotisk". Den Julia uppsättningen av en funktion f vanligen betecknas J (f), och Fatou uppsättningen betecknas F ( f). [1] Dessa uppsättningar är uppkallade efter de franska matematikerna Gaston Julia [2] och Pierre Fatou [3] vars arbete började studera komplexa dynamik under det tidiga 20-talet. Innehåll [hide] 1 Formell definition 2 Motsvarande beskrivningar av Julia set 3 Egenskaper för Julia uppsättningen och Fatou set 4 Exempel 5 kvadratiska polynom 6 Exempel på Julia sätter 7 Generaliseringar 8 Potentialen funktion och den verkliga iteration nummer 9 fältlinjer 10 Avstånd uppskattning 11 Rita Julia som 11.1 Använda bakåt (invers) iteration (IIM) 11.2 Använda DEM / J 12 Se också 13 Hänvisar till 14 Utsidan anknyter Formell definition [redigera] Låt f (z) vara en komplex rationell funktion från planet i sig, det vill säga f (z) = p (z) / q (z), där p (z) och Q (z) är komplexa polynom. Sedan finns det ett begränsat antal öppna uppsättningar F1, ..., Fr, som finns kvar invariant av f (z) och är sådana att: unionen av Fi: s är tät i planet och f (z) beter sig på ett regelbundet och lika sätt på var och en av uppsättningarna Fi. Det sista uttalandet innebär att terminalerna av sekvenserna av iterationer genererade av de punkter i Fi är antingen exakt samma uppsättning, som sedan en ändlig cykel, eller om de är ändliga cykler av cirkulär eller ringformade uppsättningar som ligger koncentriskt. I det första fallet cykeln lockar, i den andra är det neutrala. Dessa uppsättningar Fi är Fatou domänerna av f (z), och deras fackförening är Fatou set F (f) av f (z). Var och en av Fatou domänerna innehåller minst en kritisk punkt för f (z), det vill säga ett (ändlig) Punkt z uppfyller f '(z) = 0, eller z = ∞, om graden av täljaren p (z) är åtminstone två större än den grad av nämnaren q (z), eller om f (z) = 1 / g (z) + c för vissa c och en rationell funktion g (z), som uppfyller detta villkor. Komplementet över F (f) är Julia set J (f) av f (z). J (f) är en ingenstans tät set (det är utan inre poäng) och en överuppräknelig (av samma kardinalitet som reella tal). Liksom F (f), J (f) lämnas invariant av f (z), och på denna uppsättning iterationen är repellerande, vilket innebär att | f (z) - f (w) | > | Z - w | för alla w i ett område i z (inom J (f)). Detta innebär att f (z) beter sig kaotiskt på Julia set. Även om det finns punkter i Julia som vars sekvens iterationer är ändligt, det finns bara en uppräknelig antal sådana punkter (och de gör upp en oändligt liten del av Julia set). Sekvenserna genereras av punkter utanför denna uppsättning uppträda kaotiskt, ett fenomen som kallas deterministiskt kaos. Det har varit omfattande forskning om Fatou set och Julia uppsättning itererade rationella funktioner, så kallade rationella kartor. Till exempel är det känt att Fatou uppsättningen av en rationell karta har antingen 0,1,2 eller oändligt många komponenter. [4] Varje komponent av Fatou uppsättningen av en rationell karta kan delas in i en av fyra olika klasser. [ 5] Likvärdiga beskrivningar av Julia satt [redigera] J (f) är den minsta slutna uppsättningen innehåller åtminstone tre punkter som är helt invariant under f. J (f) är stängningen av uppsättningen repellerande periodiska punkter. För alla utom högst två punkter z ∈ X, är Julia uppsättning uppsättningen av gränspunkter full bakåt bana igcup_n f ^ {- n} (z). (Detta tyder på en enkel algoritm för att rita Julia sätter, se nedan.) Om f är en hel funktion, då J (f) är gränsen för antal punkter som konvergerar till oändlighet i iteration. Om f är ett polynom, då J (f) är gränsen för den fyllda Julia set; det vill säga de punkter vars banor enligt iterationer av f förblir begränsad. Egenskaper hos Julia set och Fatou ställer [redigera] Julia in och Fatou uppsättning f är båda helt invariant under iterationer av holomorphic funktionen f: [6] f ^ {- 1} (J (f)) = F (J (f)) = J (f) f ^ {- 1} (F (f)) = F (F (f)) = F (f) Exempel [redigera] För f (z) = z ^ {2} Julia uppsättningen är enhetscirkeln och på denna iterationen ges av en fördubbling av vinklar (en verksamhet som är kaotiskt på de punkter vars argument är inte en rationell del av 2Pi ). Det finns två Fatou områden: den inre och yttre cirkeln, med iteration mot 0 och ∞, respektive. För f (z) = z ^ {2} - 2 Julia uppsättningen är linjesegmentet mellan -2 och 2. Det finns ett Fatou domain: punkter inte på sträckan iterera mot ∞. (Bortsett från ett skift och skalning av domänen, är denna omgång motsvarar xo 4 (x -. Frac {1} {2}) ^ {2} på enheten intervallet, som ofta används som ett exempel på kaotiskt system) Dessa två funktioner är av formen z ^ 2 + c, där c är ett komplext tal. För en sådan iteration Julia uppsättningen är i allmänhet inte en enkel kurva, men är en fractal, och för vissa värden på c det kan ta överraskande former. Se bilderna nedan. Julia set (i vitt) för rationell funktion i samband med Newtons metod för f: z → z3-1. Färgning av Fatou satt enligt attraktor (rötter f) För vissa funktioner f (z) kan vi säga på förhand att Julia uppsättningen är en fractal och inte en enkel kurva. Detta är på grund av följande resultat på iterationer av en rationell funktion: Sats. Var och en av Fatou domänerna har samma gräns, som följaktligen är Julia set. Detta innebär att varje punkt i Julia uppsättningen är en punkt för ackumulering för vart och ett av Fatou domäner. Därför, om det finns fler än två Fatou domäner måste varje punkt av Julia uppsättningen har beröringspunkter med mer än två olika öppna uppsättningar oändligt nära, och detta innebär att Julia uppsättningen inte kan vara en enkel kurva. Detta fenomen inträffar, till exempel, när f (z) är Newton iterationen av att lösa ekvationen zn = 1 för n> 2: f (z) = z - frac {f (z)} {f '(z)} = frac {1 + (n-1) z ^ n} {nz ^ {n-1}}. Bilden till höger visar fallet n = 3. Kvadratiska polynom [redigera] En mycket populär komplex dynamisk systemet ges av familj av kvadratiska polynom, ett specialfall av rationella kartor. De kvadratiska polynom kan uttryckas som F_C (z) = z ^ 2 + c där c är en komplex parameter. Fylld Julia in för fc, c = 1-φ där φ är det gyllene snittet Julia in för fc, c = (φ -2) + (φ-1) i = -0,4 + 0.6i Julia in för fc, c = 0,285 + 0i Julia in för fc, c = 0,285 + 0.01i Julia in för fc, c = 0,45 + 0.1428i Julia set för fc, c = -0.70176-0.3842i Julia inställd för fc, c = -0.835-0.2321i Julia inställd för fc, c = -0,8 + 0.156i En Julia set diagram som visar Juliamängder för olika värden på c; Det liknar Mandelbrot uppsättningen Parametern plan kvadratiska polynom - det vill säga plan eventuella c-värden - ger upphov till den berömda Mandelbrot uppsättningen. Faktum är att Mandelbrotmängden definieras som mängden av alla c, så att J (F_C) är ansluten. För parametrar utanför Mandelbrot uppsättningen, är Julia uppsättningen ett Cantor utrymme: i detta fall är det ibland kallas Fatou damm. I många fall, Julia uppsättningen c ser ut som Mandelbrot som i tillräckligt små kvarter i c. Detta gäller i synnerhet för så kallade "Misiurewicz" parametrar, det vill säga parametrar c där den kritiska punkten är pre-periodisk. Till exempel: Vid c = i, desto kortare, framför tån på framfoten, Julia uppsättningen ser ut som en förgrenad blixt. Vid c = -2, är toppen av den långa taggiga svans Julia uppsättningen ett rakt linjesegment. Med andra ord ställer Julia J (F_C) är lokalt liknande runt Misiurewicz poäng. [7] Exempel på Julia ställer [redigera] f (z) = z2 + 0,279 f (z) = z3 + 0,400 f (z) = Z4 + 0,484 f (z) = Z5 + 0,544 f (z) = z6 + 0.590 f (z) = z7 + 0,626 f (z) = exp (z) - 0,65 f (z) = exp (z3) - 0,59 f (z ) = exp (z3) - 0,621 f (z) = z * exp (z) + 0,04 f (z) = z2 * exp (z) + 0,21 f (z) = z3 * exp (z) + 0,33 f (z ) = z4 * exp (Z) + 0,41 f (z) = Sqr [Sinh (z2)] + (0.065,0.122i) f (z) = [(z2 + z) / Ln (z)] + (0,268, 0.060i) Generaliseringar [redigera] Definitionen av Julia och Fatou sätter lätt bär över till fallet med vissa kartor vars bild innehåller deras domän; notably transcendental meromorfa funktioner och Adam Epstein ändliga-typ kartor. Julia uppsättningar också definieras vanligen i studiet av dynamiken i flera komplexa variabler. Den potentiella funktion och den verkliga iterationsantalet [redigera] Julia in för f (z) = z ^ {2} är enhetscirkeln, och på den yttre Fatou domänen, är den potentiella funktionen φ (z) definierad av φ (z) = log | z |. Ekvipotentiallinjerna för denna funktion är koncentriska cirklar. Som | f (z) | = | Z | ^ {2} vi har varphi (z) = lim_ {k oinfty} frac {log | z_k |} {2 ^ k}, där z_k är sekvensen av iterationen genereras av z. För den mer allmänna iteration f (z) = z ^ 2 + c, har det visat sig att om Julia uppsättningen är ansluten (det vill säga om c hör till (vanliga) Mandelbrot set), så finns det en biholomorphic karta ψ mellan den yttre Fatou domänen och den yttre av enhetscirkeln, så att | psi (f (z)) | = | Psi (z) | ^ {2} [8] Detta innebär att den potentiella funktionen på den yttre Fatou domänen definieras av denna korrespondens ges av:. Varphi (z) = lim_ {k oinfty} frac {log | z_k | } {2 ^ k}. Denna formel har betydelse även om Julia uppsättningen inte är ansluten, så att vi för alla c kan definiera potentiella funktionen på Fatou domän innehållande ∞ av denna formel. För en allmän rationell funktion f (z) så att ∞ är en kritisk punkt och en fast punkt, är att, så att graden m täljaren är åtminstone två större än graden n

Hasil (Swensk) 3:

julia som
från wikipedia fri uppslagsbok


a julia som
fil: julia som 3d - skiva animation.ogg

tredimensionella skivor genom (den fjärde dimensionen) julia som en funktion av quaternions.
i samband med komplex dynamik, ett ämne i matematik, julia och fatou är två kompletterande definieras ur funktion.informellt,den fatou uppsättning funktion består av värderingar med egendom som alla i närheten av värden som uppför sig på ett liknande sätt under upprepade upprepningen av funktion och julia som består av värden som ett godtyckligt små störningar kan leda till drastiska förändringar i sekvensen upprepas funktion av värden.därmed beteende i funktion på fatou som är "vanliga",när julia som dess beteende är kaotiskt.
julia uppsättning funktion f är allmänt betecknas j (f), och fatou som betecknas f f) [1]. dessa grupper är döpt efter den franska matematiker gaston julia [2] och pierre fatou [3] vars arbete inleddes studien av komplex dynamik under tidigt 1900 - tal.
innehåll [gömma]
1 formella definition
2 motsvarande beskrivningar av julia som.3 egenskaper hos julia och fatou som
4 exempel
5 kvadratisk polynomials
6 exempel på julia fastställs (7 generalizations
8 potentiella funktionen och den verkliga itereringen nummer
9 gäller linjer
10 avstånd uppskattning (diagram (11 11 julia som använder bakåt (omvänd) iterationen (jag) (11,2 med dem - / j. se även
13 hänvisningar
14 yttre förbindelser
formella definition [klippa.

låt f (z) vara komplex rationell funktion från planet i sig är f (z) = p (z) / q - (z), där p (z) och q (z) är komplexa polynomials.det finns ett begränsat antal öppna under f1 -, fr, som är kvar oförändrad av f (z) och är sådan att
unionen av fi är tätt i planet och
f (z) uppträder på ett regelbundet och likvärdigt sätt för vart och ett av de uppsättningar fi.
den sista uttalande betyder att termini av sekvenser av iterationer som genereras av de punkter i fi antingen är exakt samma som, vilket är en ändlig cykel, eller så är de begränsade cykler med runt eller ringformad format fastställs att ljuger koncentriskt.i det första fallet cykeln är att locka till sig, i andra är det neutrala. i dessa grupper fi är fatou områden av f (z),och unionen är fatou som f f f - (z).var och en av de fatou områden innehåller minst en kritisk punkt f - (z), som är en (begränsad) led z uppfyller f "(z) = 0, eller z = ∞, om graden av täljaren p (z) är minst två större än den grad av nämnaren q z), eller om f (z) = 1 / g (z) c till c och en rationell funktion g (z) som uppfyller detta villkor."den kompletterar f - f är julia som j f f - (z).j (f) är inte trög som det är, utan interna poäng) och ett oräkneligt anges (i samma cardinality som de verkliga siffrorna).som f f, j f lämnas oförändrad av f (z), och om detta fastställs känslor är emot, vilket innebär att | f (z) - f (w) | > | z - w | för alla w i ett område av z (inom j (f).