5.3 Rotational and irrotational flow

5.3 Rotational and irrotational flow Flow in which the vorticity is everywhere zero (∇×u = 0) is called irrotational. Other terms in use are vortex free; ideal; perfect. Much of fluid dynamics used to be concerned with analysing irrotational flows and deciding where these give a good representation of real flows, and where they are quite wrong. We have neglected compressibility and viscosity. It can be shown that the neglect of compressibility is not very serious even at moderately high speeds, but the effect of neglecting viscosity can be disastrous. Viscosity diffuses the vorticity (much as conductivity diffuses heat) and progressively blurs the results derived above, the errors increasing with time. There is no term in the Helmholtz equation
corresponding to the generation of vorticity: the term ω ·∇u represents processing by stretching and turning of vorticity already present. It follows, therefore, that in homogeneous fluids all vorticity must be generated at boundaries. In real (viscous) flu- ids, this vorticity is carried away from the boundary by diffusion and is then advected into the body of the flow. But in inviscid flow vorticity cannot leave the surface by diffusion, nor can it leave by advection with the fluid as no fluid particles can leave the surface. It is this inability of inviscid flows to model the diffusion/advection of vorticity generated at boundaries out into the body of the flow that causes most of the failures of the model. In inviscid flows we are left with a free slip velocity at the boundaries which we may interpret as a thin vortex sheet wrapped around the boundary.
5.3.1 Vortex sheets
Consider a thin layer of thickness δ in which the vorticity is large and is directed along the layer (parallel to 0y), as sketched. The vorticity is
where ∂u/∂z is large (but not ∂w/∂x, which would lead to very large w). We can suppose that within the vortex layer
changing from u0 to u0 + ωδ between z = 0 andδ, with mean vorticity
Figure 5.10:
This vortex layer provides a sort of roller action, though it is not of course rigid, and it also suffers high rate-of-strain. If we idealize this vortex layer by taking the limit δ → 0, ω →∞, such that ωδ remains finite, we obtain a vortex sheet, which is manifest only through the free slip velocity. Such vortex sheets follow the contours of the boundary and clearly may be curved. They are infinitely thin sheets of vorticity with infinite magnitude across which there is finite difference in tangential velocity.
5.3.2 Line vortices
We can represent approximately also strong thin vortex tubes (e.g. tornadoes, wa- terspouts, draining vortices) by vortex lines without thickness. The circulation in a circuit round the tube tends to a definite non-zero limit as the circuit area (S) → zero. If the flow outside the vortex is irrotational then all circuits round the vortex have the same circulation, the strength κ of the vortex:
As a consequence, the velocity →∞as the line vortex is approached, like κ ∝ (distance)−1. The effect of viscosity is to thicken vortex sheets and line vortices by diffusion; however, the effect of diffusion is often slow relative to that of advection by the flow, and as a result large regions of flow will often remain free from vorticity. Vortex sheets at surfaces diffuse to form boundary layers in contact with the surfaces; or if free they often break up into line vortices. Boundary layers on bluff bodies often separate or break away from the body, forming a wake of rotational, retarded flow behind the body, and it is these wakes that are associated with the drag on the body.
5.3.3 Motion started from rest impulsively
Viscosity (which is really just distributed internal fluid friction) is responsible for retarding or damping forces which cannot begin to act until the motion has started; i.e. take time to act. Hence any flow will be initially irrotational everywhere except at actual boundaries. Within increasing time, vorticity will be diffused form boundaries and advected and diffused out into the flow. Motion started from rest by an instantaneous impulse must be irrotational. For, if we integrate the Euler equation over the time interval (t,t + δt)
In the limit δt→ 0 for start-up by an instantaneous impulse, the impulse of the body force → 0 (as the body force is unaffected by the impulsive nature of the start) and
where the fluid responds instantaneously with the impulsive pressure field P = δt pdt, and the impulse on a fluid element is −∇P per unit volume, producing a velocity from rest of u0 =− 1 ρ∇P. This is irrotational as

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

5.3 Rotational dan aliran irrotational flow yang vorticity adalah di mana-mana nol (∇ × u = 0) disebut irrotational. Istilah lain yang digunakan adalah vortex gratis; ideal; sempurna. Banyak dinamika fluid digunakan untuk menjadi prihatin dengan menganalisis irrotational flows dan memutuskan mana ini memberikan representasi yang baik dari flows yang nyata, dan dimana mereka cukup salah. Kami telah diabaikan compressibility dan viskositas. Dapat ditunjukkan bahwa mengabaikan compressibility tidak sangat serius bahkan pada kecepatan cukup tinggi, tetapi effect dari mengabaikan viskositas dapat menjadi bencana. Viskositas diffuses vorticity (banyak sebagai konduktivitas panas diffuses) dan semakin kabur hasil di atas, kesalahan meningkatkan dengan waktu. Ada tidak ada istilah dalam persamaan Helmholtz sesuai dengan generasi vorticity: istilah ω ·∇u mewakili pengolahan dengan peregangan dan memutar dari vorticity yang sudah ada. Maka, oleh karena itu, bahwa di homogen fluids semua vorticity harus dihasilkan pada batas-batas. Di real flu (kental)-id, vorticity ini dibawa dari batas oleh diffusion dan kemudian advected ke dalam tubuh flow. Tapi di inviscid flow vorticity tidak bisa meninggalkan permukaan oleh diffusion, dan tidak dapat meninggalkan oleh advection dengan fluid sebagai partikel fluid tidak dapat meninggalkan permukaan. Ini adalah ketidakmampuan ini inviscid flows untuk model diffusion/advection dari vorticity yang dihasilkan pada batas-batas keluar ke dalam tubuh flow yang menyebabkan sebagian besar kegagalan model. Dalam inviscid flows kita yang tersisa dengan kecepatan tergelincir gratis pada batas-batas yang kita dapat menafsirkan sebagai pusaran tipis lembar dibungkus di sekitar batas.5.3.1 vortex lembarPertimbangkan lapisan tipis ketebalan δ di mana vorticity besar dan diarahkan sepanjang lapisan (paralel untuk 0y), sebagai membuat sketsa. Vorticity adalahmana ∂u ∂z besar (tetapi tidak ∂w/∂x, yang mengarah ke w sangat besar). Kami dapat menganggap bahwa dalam lapisan vortexberubah dari u0 ke u0 + ωδ antara z = 0 andδ, dengan rata-rata vorticity5.10 gambar:Lapisan vortex ini menyediakan semacam tindakan roller, meskipun tidak kaku lapangan, dan itu juga suffers tinggi tingkat-dari-ketegangan. Jika kita mengidealkan lapisan vortex ini dengan mengambil batas δ → 0, ω →∞, sehingga ωδ tetap finite, kita memperoleh vortex lembaran, yang nyata hanya melalui kecepatan tergelincir gratis. Lembar vortex tersebut mengikuti kontur batas dan jelas mungkin melengkung. Mereka adalah lembaran tipis infinitely vorticity dengan infinite besarnya yang ada finite difference dalam kecepatan tangensial.5.3.2 line pusaranKami dapat mewakili sekitar juga vortex tipis kuat tabung (misalnya Tornado, wa-terspouts, pengeringan pusaran) oleh vortex baris tanpa ketebalan. Sirkulasi di sirkuit bulat tabung cenderung batas bukan nol definite sebagai sirkuit daerah (S) → nol. Jika flow di luar vortex irrotational maka semua sirkuit putaran vortex memiliki sirkulasi yang sama, κ kekuatan dari vortex: As a consequence, the velocity →∞as the line vortex is approached, like κ ∝ (distance)−1. The effect of viscosity is to thicken vortex sheets and line vortices by diffusion; however, the effect of diffusion is often slow relative to that of advection by the flow, and as a result large regions of flow will often remain free from vorticity. Vortex sheets at surfaces diffuse to form boundary layers in contact with the surfaces; or if free they often break up into line vortices. Boundary layers on bluff bodies often separate or break away from the body, forming a wake of rotational, retarded flow behind the body, and it is these wakes that are associated with the drag on the body.5.3.3 Motion started from rest impulsivelyViscosity (which is really just distributed internal fluid friction) is responsible for retarding or damping forces which cannot begin to act until the motion has started; i.e. take time to act. Hence any flow will be initially irrotational everywhere except at actual boundaries. Within increasing time, vorticity will be diffused form boundaries and advected and diffused out into the flow. Motion started from rest by an instantaneous impulse must be irrotational. For, if we integrate the Euler equation over the time interval (t,t + δt) In the limit δt→ 0 for start-up by an instantaneous impulse, the impulse of the body force → 0 (as the body force is unaffected by the impulsive nature of the start) and where the fluid responds instantaneously with the impulsive pressure field P = δt pdt, and the impulse on a fluid element is −∇P per unit volume, producing a velocity from rest of u0 =− 1 ρ∇P. This is irrotational as

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

5.3 Rotasi dan berotasi aliran Aliran yang vortisitas di mana-mana nol (∇ × u = 0) disebut tak-berotasi. Istilah lain yang digunakan adalah pusaran bebas; ideal; sempurna. Banyak dinamika fluida digunakan untuk peduli dengan menganalisis berotasi fl mengalir dan memutuskan mana ini memberikan representasi yang baik dari mengalir fl nyata, dan di mana mereka cukup salah. Kami telah mengabaikan kompresibilitas dan viskositas. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa pengabaian kompresibilitas tidak sangat serius bahkan pada kecepatan cukup tinggi, tetapi e ff ect mengabaikan viskositas dapat menjadi bencana. Viskositas di ff menggunakan vortisitas (sebanyak konduktivitas di ff menggunakan panas) dan semakin mengaburkan hasil yang diperoleh di atas, kesalahan meningkat dengan waktu. Tidak ada istilah dalam persamaan Helmholtz
yang sesuai dengan generasi vortisitas: the ω jangka · ∇u merupakan pengolahan dengan peregangan dan balik dari vortisitas sudah ada. Ini mengikuti, karena itu, bahwa di fluida homogen semua vortisitas harus dihasilkan pada batas. Secara real (kental) fl u- ids, vortisitas ini terbawa dari batas oleh di ff usion dan kemudian advected ke dalam tubuh aliran. Tapi di inviscid aliran vortisitas tidak bisa meninggalkan permukaan dengan di ff usion, juga tidak dapat meninggalkan oleh adveksi dengan fluida karena tidak ada partikel fluida dapat meninggalkan permukaan. Ini adalah ketidakmampuan ini inviscid fl mengalir untuk model di ff usion / adveksi vortisitas dari yang dihasilkan pada batas keluar ke tubuh aliran yang menyebabkan sebagian besar kegagalan model. Dalam inviscid fl mengalir kita dibiarkan dengan kecepatan tergelincir gratis pada batas yang kita dapat menafsirkan sebagai lembaran tipis pusaran melilit batas.
5.3.1 lembar Vortex
Pertimbangkan lapisan tipis ketebalan δ yang vortisitas adalah besar dan diarahkan bersama lapisan (sejajar dengan 0Y), sebagai sketsa. Vortisitas adalah
di mana ∂u / ∂z besar (tapi tidak ∂w / ∂x, yang akan mengakibatkan sangat besar w). Kita dapat menganggap bahwa dalam pusaran lapisan
berubah dari u0 ke u0 + ωδ antara z = 0 andδ, dengan mean vortisitas
Gambar 5.10:
Lapisan pusaran ini menyediakan semacam tindakan roller, meskipun tidak tentu kaku, dan juga su ff ers tinggi rate-of-regangan. Jika kita menjunjung lapisan vortex ini dengan mengambil batas δ → 0, ω → ∞, sehingga ωδ tetap fi nite, kita memperoleh selembar pusaran, yang terwujud hanya melalui kecepatan tergelincir gratis. Lembar pusaran seperti mengikuti kontur batas dan jelas dapat melengkung. Mereka berada di fi nitely lembaran tipis dari vortisitas dengan berhingga besarnya di mana ada fi nite di ff selisih di kecepatan tangensial.
5.3.2 vortisitas Baris
Kami dapat mewakili sekitar juga tabung pusaran tipis yang kuat (misalnya tornado, terspouts wa, pengeringan vortisitas) oleh garis vortex tanpa ketebalan . Sirkulasi di sirkuit putaran tabung cenderung de fi nite non-nol batas sebagai daerah sirkuit (S) → nol. Jika aliran luar pusaran tak-berotasi maka semua sirkuit putaran vortex memiliki sirkulasi yang sama, kekuatan κ pusaran:
Sebagai akibatnya, kecepatan → ∞as pusaran garis didekati, seperti κ α (jarak) -1. E ff ect viskositas adalah menebal lembar pusaran dan vortisitas line dengan di ff usion; Namun, e ff ect dari di ff usion sering lambat relatif terhadap adveksi oleh aliran, dan sebagai hasilnya wilayah besar aliran akan sering tetap bebas dari vortisitas. Lembar vortex pada permukaan di gunakan ff untuk membentuk lapisan batas kontak dengan permukaan; atau jika bebas mereka sering putus dalam pusaran line. Lapisan batas pada tubuh ff blu sering memisahkan atau melepaskan diri dari tubuh, membentuk bangun dari rotasi, fl terbelakang ow belakang tubuh, dan itu adalah wake ini yang berkaitan dengan hambatan pada tubuh.
5.3.3 Gerak mulai dari yang lain impulsif
Viskositas (yang benar-benar hanya didistribusikan intern gesekan fluida) bertanggung jawab untuk memperlambat atau kekuatan yang tidak dapat mulai bertindak sampai gerak telah mulai redaman; yaitu mengambil waktu untuk bertindak. Oleh karena itu setiap ow fl akan awalnya tak-berotasi mana-mana kecuali pada batas yang sebenarnya. Dalam meningkatkan waktu, vortisitas akan di ff digunakan bentuk batas-batas dan advected dan di ff digunakan keluar ke aliran. Gerak mulai dari yang lain oleh dorongan sesaat harus berotasi. Sebab, jika kita mengintegrasikan persamaan Euler selama interval waktu (t, t + AT)
Dalam batas AT → 0 untuk start-up oleh dorongan sesaat, dorongan dari kekuatan tubuh → 0 (sebagai kekuatan tubuh ff una ected oleh sifat impulsif dari awal)
dan? mana fluida merespon seketika dengan tekanan impulsif lapangan P = AT pdt, dan dorongan pada elemen fluida adalah -∇P per satuan volume, memproduksi kecepatan dari sisa u0 = - 1 ρ ∇P. Ini berotasi sebagai