Example 6Discuss properties of the

Example 6
Discuss properties of the directional derivative.
Solution
Suppose that P is a point on the level surface φ of a scalar function, and that N and P are points on the neighbouring surface φ + δφ in the direction of the normal at P (ˆ n) and a specified curve (ˆ s). Then
Figure 5.7:
∇φ = ˆ n∂φ/∂n is the largest of the directional derivatives at P (as δn is the minimum separation distance between the surfaces, φ, φ + δφ) and has the direction ˆ n of the outward normal at P. Then
and ω·∇u =|ω| ˆ ω·∇u = ω ∂u ∂sω where sω is distance along the vortex line.
5.2 Kelvin’s Theorem
The ideas of vorticity and circulation are important because of the permanence of circulation under deformation of the flow due to pressure forces. We next look at the rate-of-change of circulation round a circuit moving with an incompressible, inviscid fluid:
The first integral on the right may be written−1 ρ∇p−∇Ω· dr, and thesecond one u· D Dtdr = u·du (see Example 7). Hence 
as −p/ρ − Ω+1 2u2 returns to its initial value after one circuit since it is a single valued function.
Example 7 Show that u· D Dtdr = u·du. Solution Suppose that the elementary vector ¯ P  Q = δr at t is advected with the flow to ¯ P Q = δr(t + δt) att + δt. Then
Figure 5.8:
in a fixed reference frame 0xyz, where |δr| = δs and s is arc length along the path P. In the limit as δr → dr,δ u → du, D Dt (dr)=du.
5.2.1 Results following from Kelvins Theorem
(i) Helmholtz theorem: vortex lines move with the fluid Consider a tube of particles T which at the instant t forms a vortex tube of strength k. At that time the circulation round any circuit C lying in the tube wall, but not linking (i.e. embracing) the tube is zero, while that in an circuit C linking the tube once is k. These circulations suffer no change moving with the fluid: hence the circulation in C remains zero and that in C remains k, i.e. the fluid comprising the vortex tube at T continues to comprise a vortex tube (as the vorticity component normal to the tube wall - measured in C- is always zero), and the strength of the vortex remains constant. A vortex line is the limiting case of a small vortex tube: hence vortex lines move with (are frozen into) inviscid fluids.
(ii) A flow which is initially irrotational remains irrotational Circulation is advected with the fluid in inviscid flows, and vorticity is “circulation per unit area”. If initially for all closed circuits in some region of flow, it must remain so for all subsequent times. Motion started from rest is initially irrotational (free from vorticity) and will therefore remain irrotational provided that it is inviscid.
(iii) The direction of the vorticity turns as the vortex line turns, and its magnitude increases as the vortex line is stretched.
The circulation round a thin vortex tube remains the same; as it stretches the area of section decreases and
circulation area = vorticity
increases in proportion to the stretch.
Figure 5.9:
Exercises
1. Explain the physical significance of each term in the Helmholtz equation for vorticity in inviscid incompressible flow.
2. Show that in two-dimensional flow, with u =( u(x,y),v (x,y), 0) vorticity is necessarily normal to the xy-plane, ω = (0 ,0,ζ). Hence show that in two- dimensional inviscid incompressible flow the Helmholtz vorticity equation re- duces to the form Dω Dt =0 , so that if the distribution of vorticity is initially uniform it must remain so, and if the motion is initially irrotational (free from vorticity) it must remain so.
3. Explain the statement that in inviscid flows vorticity is “frozen into the fluid”.
4. Show that the circulation in any circuit embracing a vortex tube (i.e. passing once round it) in otherwise irrotational fluid is equal to the strength of the vortex tube
taken over any section of tube. Hence, or otherwise, show that a vortex tube cannot terminate in the interior of a fluid region.

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

Contoh 6Membahas sifat-sifat derivatif arah.SolusiMisalnya bahwa P adalah sebuah titik pada tingkat permukaan φ skalar fungsi, dan bahwa N dan P adalah poin di tetangga permukaan φ + δφ ke arah yang normal di P (ˆ n) dan kurva specified (ˆ s). Kemudian5.7 gambar:∇φ = ˆ n∂φ/∂n adalah yang terbesar dari arah derivatif di P (seperti δn jarak minimum pemisahan antara permukaan, φ, φ + δφ) dan memiliki arah ˆ n normal luar P. kemudiandan ω·∇u = |ω| ˆ ω·∇u = ω ∂u ∂sω mana sω adalah jarak sepanjang jalur vortex.5.2 Kelvin teoremaIde-ide vorticity dan sirkulasi penting karena ketetapan sirkulasi di bawah deformasi flow karena kekuatan tekanan. Kita berikutnya melihat tingkat-of-perubahan sirkulasi putaran sirkuit yang bergerak dengan tdk, inviscid fluid: Pertama integral di sebelah kanan dapat ditulis −1 ρ∇p−∇Ω · Dr, dan thesecond satu u· D Dtdr = u·du (Lihat contoh 7). Oleh karena itu sebagai −p/ρ − Ω + 1 2u2 kembali ke nya nilai awal setelah satu sirkuit karena itu adalah satu fungsi dihargai.Contoh 7 menunjukkan bahwa u· D Dtdr = u·du. kira solusi yang dasar vektor ¯ P Q = δr pada t advected dengan flow untuk ¯ P Q = δr (t + δt) att + δt. Kemudian 5.8 gambar:di fixed referensi bingkai 0xyz, mana |δr| = Δs dan s adalah busur panjang sepanjang jalan P. Dalam batas sebagai δr → dr, δ u → du, Dt D (dr) = du.5.2.1 hasil dari Teorema Kelvin(i) Helmholtz teorema: vortex garis bergerak dengan fluid mempertimbangkan tabung partikel T yang di t instan membentuk pusaran tabung kekuatan k. Pada waktu itu sirkulasi putaran setiap sirkuit C berbaring di dinding tabung, tetapi tidak menghubungkan (yaitu merangkul) tabung adalah nol, sementara itu dalam sebuah sirkuit C yang menghubungkan tabung sekali k. Suffer sirkulasi ini tidak ada perubahan yang bergerak dengan fluid: maka sirkulasi di C masih nol dan bahwa dalam C tetap k, yaitu fluid terdiri dari tabung vortex pada T terus terdiri dari pusaran tabung (sebagai komponen vorticity normal untuk dinding tabung - diukur dalam C - adalah nol), dan kekuatan vortex tetap konstan. Garis vortex adalah kasus membatasi tabung kecil vortex: maka garis vortex bergerak dengan (dibekukan ke) inviscid fluids.(ii) flow yang awalnya irrotational tetap irrotational sirkulasi advected dengan fluid di inviscid flows, dan vorticity adalah "sirkulasi per satuan luas". Jika pada awalnya untuk semua sirkuit tertutup di beberapa wilayah flow, itu harus tetap demikian untuk waktu berikutnya. Gerakan yang dimulai dari sisanya awalnya irrotational (gratis dari vorticity) dan akan karena itu tetap irrotational asalkan itu inviscid.(iii) ke arah vorticity berubah sebagai vortex garis berubah, dan besarannya meningkat sebagai garis vortex membentang.Sirkulasi bulat tabung tipis vortex tetap sama; seperti itu membentang daerah bagian berkurang danarea sirkulasi = vorticitymeningkat secara proporsional peregangan.5.9 gambar:Latihan1. menjelaskan significance fisik dari setiap istilah dalam persamaan Helmholtz untuk vorticity di inviscid tdk flow.2. menunjukkan itu di flow dua dimensi, dengan Anda = (u (x, y), v (x, y) 0) vorticity selalu normal untuk bidang xy, ω = (0, 0, ζ). Oleh karena itu menunjukkan bahwa dalam dua - dimensi inviscid tdk flow Helmholtz vorticity persamaan re-duces untuk membentuk Dω Dt = 0, sehingga jika distribusi vorticity awalnya seragam itu harus tetap demikian, dan jika gerakan awalnya irrotational (gratis dari vorticity) itu harus tetap demikian.3. menjelaskan pernyataan bahwa di inviscid flows vorticity "beku ke fluid".4. menunjukkan bahwa sirkulasi di setiap sirkuit yang merangkul tabung vortex (yaitu lewat sekali bulat itu) di fluid atau irrotational sama dengan kekuatan tabung vortexmengambil alih setiap bagian dari tabung. Oleh karena itu, atau sebaliknya, menunjukkan bahwa tabung vortex tidak mengakhiri di pedalaman dari daerah fluid.

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

Contoh 6
Diskusikan sifat dari directional derivatif.
Solusi
Misalkan P adalah titik pada permukaan φ tingkat fungsi skalar, dan bahwa N dan P adalah titik pada permukaan φ tetangga + δφ dalam arah normal pada P ( n) dan kurva yang telah ditetapkan (s). Kemudian
Gambar 5.7:
∇φ = n∂φ / ∂n adalah yang terbesar dari derivatif directional di P (sebagai δn adalah jarak pemisah minimum antara permukaan, φ, φ + δφ) dan memiliki n arah luar normal pada P. Kemudian
dan ω · ∇u = | ω | Ω · ∇u = ω ∂u ∂sω mana sω adalah jarak sepanjang garis vortex.
5.2 Kelvin Teorema
Ide-ide vortisitas dan sirkulasi penting karena keabadian sirkulasi bawah deformasi dari aliran karena tekanan pasukan. Kami berikutnya melihat tingkat-of-perubahan sirkulasi putaran sirkuit bergerak dengan mampat, inviscid cairan yang:
Yang pertama terpisahkan di sebelah kanan dapat ditulis ?? - 1 ρ∇p-∇Ω · dr, dan satu thesecond?? u · D Dtdr =? u · du (lihat Contoh 7). Oleh karena itu?
Sebagai p / ρ -. Ω + 1 2u2 kembali ke nilai awalnya setelah satu sirkuit karena merupakan fungsi bernilai tunggal
Contoh 7 Tunjukkan bahwa u · D Dtdr = u · du??. Solusi Misalkan vektor dasar ¯ P? Q = δr di t advected dengan fl ow yang ke ¯ P ?? Q? = Δr (t + AT) att + AT. Kemudian
Gambar 5.8:
dalam 0xyz yang tetap kerangka acuan, di mana | δr | = Δs dan s adalah panjang busur sepanjang jalan P. Dalam batas sebagai δr → dr, δ u → du, D Dt (dr) = du.
5.2.1 Hasil berikut dari kelvin Teorema
(i) Helmholtz teorema: garis vortex bergerak dengan fl UID Pertimbangkan tabung partikel T yang pada instan t membentuk tabung pusaran kekuatan k. Pada saat itu sirkulasi putaran sirkuit C? berbaring di dinding tabung, tetapi tidak menghubungkan (yaitu merangkul) tabung adalah nol, sedangkan di sirkuit C yang menghubungkan tabung sekali adalah k. Sirkulasi ini su ff er tidak ada perubahan bergerak dengan cairan: maka sirkulasi di C? tetap nol dan yang di C tetap k, yaitu fluida yang terdiri dari tabung vortex pada T terus terdiri tabung pusaran (sebagai vortisitas komponen normal pada dinding tabung - diukur dalam C -? selalu nol), dan kekuatan pusaran tetap konstan. Sebuah garis pusaran adalah kasus membatasi tabung pusaran kecil. Maka garis vortex bergerak dengan (dibekukan menjadi) inviscid fl UID
(ii) A fl ow yang awalnya tak-berotasi tetap Sirkulasi berotasi adalah advected dengan fluida di inviscid fl mengalir, dan vortisitas adalah "sirkulasi per satuan luas". Jika awalnya untuk semua ditutup sirkuit di beberapa wilayah aliran, itu harus tetap demikian untuk semua kali berikutnya. Gerak mulai dari yang lain adalah awalnya berotasi (bebas dari vortisitas) dan karena itu akan tetap berotasi asalkan inviscid.
(Iii) Arah vortisitas berubah sebagai garis vortex ternyata, dan meningkatkan besarnya sebagai garis pusaran ditarik.
The sirkulasi putaran tabung pusaran tipis tetap sama; karena membentang wilayah bagian menurun dan
area sirkulasi = vortisitas
meningkat sebanding dengan peregangan.
Gambar 5.9:
Latihan
1. Jelaskan fisik signifikansi dari setiap istilah dalam persamaan Helmholtz untuk vortisitas di inviscid mampat aliran.
2. Menunjukkan bahwa dalam dua dimensi fl ow, dengan u = (u (x, y), v (x, y), 0) vortisitas adalah tentu normal terhadap bidang xy, ω = (0, 0, ζ). Oleh karena itu menunjukkan bahwa di dua dimensi fl ow mampat inviscid persamaan vortisitas Helmholtz kembali duces ke bentuk Dω Dt = 0, sehingga jika distribusi vortisitas awalnya seragam itu harus tetap demikian, dan jika gerakan ini awalnya berotasi (bebas dari vortisitas) itu harus tetap demikian.
3. Jelaskan pernyataan bahwa di inviscid fl mengalir vortisitas adalah "beku ke dalam fluida".
4. Menunjukkan bahwa sirkulasi di setiap sirkuit merangkul tabung vortex (yaitu lewat sekali bulat itu) di sebaliknya berotasi cairan adalah sama dengan kekuatan tabung pusaran
mengambil alih setiap bagian dari tabung. Oleh karena itu, atau sebaliknya, menunjukkan bahwa kisaran tabung tidak dapat menghentikan di pedalaman wilayah fluida.