9.3 ARIMA ForecastingFor ARIMA mode

9.3 ARIMA ForecastingFor ARIMA models, the forecasts can be expressed in several different ways. Each expression contributes to our understanding of the overall forecasting procedure with respect to computing, updating, assessing precision, or long-term forecasting behavior.AR(1)We shall first illustrate many of the ideas with the simple AR(1) process with a nonzero mean that satisfies Yt –  = Yt – 1 –  + et (9.3.1) Consider the problem of forecasting one time unit into the future. Replacing t by t + 1 in Equation (9.3.1), we have Yt + 1 –  = Yt –  + et + 1 (9.3.2) Given Y1, Y2,, Yt  1, Yt, we take the conditional expectations of both sides of Equation (9.3.2) and obtain Y^t1 –  = EYt|Y1 Y2  Yt  –  + Eet + 1|Y1 Y2  Yt  (9.3.3) Now, from the properties of conditional expectation, we have EYt|Y1 Y2  Yt  = Yt (9.3.4) Also, since et + 1 is independent of Y1, Y2, , Yt  1, Yt, we obtain Eet + 1|Y1 Y2  Yt  = Thus, Equation (9.3.3) can be written as Eet + 1  = 0 (9.3.5) Y^t1 =  + Yt –  (9.3.6) In words, a proportion  of the current deviation from the process mean is added to the process mean to forecast the next process value.Now consider a general lead time l. Replacing t by t + l in Equation (9.3.1) and tak- ing the conditional expectations of both sides produces Y^tl =  + Y^tl – 1 –  for l  1 (9.3.7) since EYt + l – 1|Y1 Y2  Yt  = Y^tl – 1 and, for l  1, et + l is independent of Y1, Y2, , Yt  1, Yt. Equation (9.3.7), which is recursive in the lead time l, shows how the forecast for any lead time l can be built up from the forecasts for shorter lead times by starting withthe initial forecast Y^t1 computed using Equation (9.3.6). The forecast Y^t2 is thenobtained from Y^t2 =  + Y^t1 –  , then Y^t3 from Y^t2, and so on until thedesired Y^tl is found. Equation (9.3.7) and its generalizations for other ARIMA models are most convenient for actually computing the forecasts. Equation (9.3.7) is sometimescalled the difference equation form of the forecasts.However, Equation (9.3.7) can also be solved to yield an explicit expression for the forecasts in terms of the observed history of the series. Iterating backward on l in Equa- tion (9.3.7), we have Y^tl ===or Y^tl – 1 –  + Y^tl – 2 –  + l – 1Y^t1 –  +  Y^tl =  + lYt –  (9.3.8) The current deviation from the mean is discounted by a factor l, whose magnitude decreases with increasing lead time. The discounted deviation is then added to the pro- cess mean to produce the lead l forecast.As a numerical example, consider the AR(1) model that we have fitted to the indus-trial color property time series. The maximum likelihood estimation results were par- tially shown in Exhibit 7.7 on page 165, but more complete results are shown in Exhibit 9.1.

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

9.3 ARIMA Peramalan
Untuk model ARIMA, perkiraan dapat dinyatakan dalam beberapa cara berbeda. Setiap ekspresi memberikan kontribusi untuk pemahaman kita tentang prosedur peramalan keseluruhan sehubungan dengan komputasi, memperbarui, menilai presisi, atau perilaku peramalan jangka panjang.

AR (1)
Kami pertama akan menggambarkan banyak ide dengan AR sederhana (1) proses dengan nol berarti bahwa memenuhi

Yt -  =

Yt - 1 -  + et

(9.3.1)

Pertimbangkan masalah peramalan satu satuan waktu ke masa depan. Mengganti t oleh t + 1 dalam Persamaan (9.3.1), kita memiliki

Yt + 1 - 

= Yt -  + et + 1

(9.3.2)

Mengingat Y1, Y2, , Yt  1, Yt, kita mengambil harapan bersyarat dari kedua sisi persamaan (9.3.2) dan memperoleh

Y ^ t1 -  =

EYt | Y1 Y2  Yt  -  + Eet + 1 | Y1 Y2  Yt 

(9.3.3)

Sekarang, dari sifat ekspektasi bersyarat, kita memiliki

EYt | Y1 Y2  Yt  = Yt

(9.3.4)

Juga, karena et + 1 adalah independen dari Y1, Y2, , Yt  1, Yt, kita memperoleh

E et + 1 | Y1 Y2  Yt  = demikian, Persamaan (9.3.3) dapat ditulis sebagai

Eet + 1  = 0

(9.3.5)

Y ^ t1

=  +  yt - 

(9.3.6)

kata, proporsi  dari deviasi arus dari mean proses ditambahkan ke mean proses untuk meramalkan nilai proses selanjutnya.
Sekarang perhatikan waktu memimpin umum l. Mengganti t oleh t + l dalam Persamaan (9.3.1) dan tak- ing harapan bersyarat dari kedua belah pihak menghasilkan

Y ^ tl =  + Y ^ tl - 1 - 

untuk l  1


(9.3.7)

sejak EYt + l - 1 | Y1 Y2  Yt 

= Y ^ tl - 1 dan, untuk l  1, et + l independen dari Y1,

Y2, , Yt  1, Yt.


Persamaan (9.3.7), yang merupakan rekursif dalam memimpin waktu l, menunjukkan bagaimana perkiraan untuk setiap lead time l dapat dibangun dari perkiraan waktu tempuh lebih pendek dengan memulai dengan
perkiraan awal Y ^ t1 computed menggunakan persamaan (9.3.6). Perkiraan Y ^ t2 kemudian
diperoleh dari Y ^ t2 =  + Y ^ t1 - , maka Y ^ t3 dari Y ^ t2, dan sebagainya sampai dengan
yang diinginkan Y ^ tl ditemukan. Persamaan (9.3.7) dan generalisasi untuk model ARIMA lainnya yang paling nyaman untuk benar-benar menghitung perkiraan. Persamaan (9.3.7) kadang-kadang
disebut perbedaan bentuk persamaan dari perkiraan.
Namun, Persamaan (9.3.7) juga dapat diselesaikan untuk menghasilkan ekspresi eksplisit untuk prakiraan dalam hal sejarah diamati dari seri. Iterasi mundur pada l di Equa- tion (9.3.7), kita memiliki

Y ^ tl =
=

=
atau

Y ^ tl - 1 -  + 
Y ^ t l - 2 -  + 
l - 1Y ^ t1 -  + 

Y ^ tl =

 + lYt - 

(9.3.8)

penyimpangan saat ini dari mean didiskon oleh l faktor, yang besarnya menurun dengan meningkatnya lead time. Penyimpangan diskon kemudian ditambahkan ke cess berarti pro untuk menghasilkan perkiraan l memimpin.
Sebagai contoh numerik, mempertimbangkan AR (1) model yang kita telah dipasang pada indus-
trial warna waktu properti series. Hasil estimasi kemungkinan maksimum adalah par- tially ditampilkan di pameran 7.7 pada halaman 165, namun hasil yang lebih lengkap akan ditampilkan di pameran 9.1.

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

9,3 ARIMA Forecasting
Untuk model ARIMA, ramalan dapat dinyatakan dalam beberapa cara yang berbeda. Setiap ekspresi berkontribusi pada pemahaman kita tentang prosedur peramalan secara keseluruhan sehubungan dengan komputasi, pembaruan, penilaian presisi, atau perilaku peramalan jangka panjang.

AR (1)
Pertama-tama kita akan mengilustrasikan banyak gagasan dengan proses AR (1) sederhana dengan arti bukan nol yang memenuhi

YT- =

  YT – 1 –   + et

9.3.1

Pertimbangkan masalah peramalan satu unit waktu ke masa depan. Mengganti t dengan t + 1 dalam persamaan (9.3.1), kita telah

YT + 1 – 

=   YT –   + et + 1

9.3.2

Mengingat y1, Y2, , YT  1, YT, kita mengambil harapan bersyarat dari kedua sisi persamaan (9.3.2) dan mendapatkan

Y ^ t  1  –  =

  E  YT | Y1  Y2    YT  –   + E  et + 1 | Y1  Y2    YT 

9.3.3

Sekarang, dari sifat harapan bersyarat, kita memiliki

E  YT | Y1  Y2    YT  = YT

9.3.4

Juga, karena et + 1 adalah independen dari y1, Y2, , YT  1, YT, kita mendapatkan

E  et + 1 | Y1  Y2    YT  = Jadi, persamaan (9.3.3) dapat ditulis sebagai

E  et + 1  = 0

9.3.5

Y ^ t  1 

=  +   YT –  

9.3.6

Dalam kata, proporsi  dari deviasi saat ini dari proses berarti ditambahkan ke proses berarti untuk meramalkan nilai proses berikutnya.
Sekarang Pertimbangkan waktu memimpin umum l. mengganti t oleh t + l dalam persamaan (9.3.1) dan tak-ing harapan bersyarat dari kedua belah pihak menghasilkan

Y ^ t  l  =  +   Y ^ t  l – 1  –  

untuk l  1

(9.3.7)

sejak E  YT + l-1 | Y1  Y2    YT 

= Y ^ t  l – 1  dan, untuk l  1, et + l independen y1,

Y2, , YT  1, YT.

Persamaan (9.3.7), yang bersifat rekursif dalam memimpin waktu l, menunjukkan bagaimana ramalan untuk setiap waktu memimpin l dapat dibangun dari perkiraan untuk Lead kali lebih pendek dengan memulai dengan
perkiraan awal Y ^ t  1  dihitung menggunakan persamaan (9.3.6). Perkiraan Y ^ t  2  kemudian
Diperoleh dari Y ^ t  2  =  +   Y ^ t  1  –  , kemudian Y ^ t  3  dari Y ^ t  2 , dan seterusnya sampai
Y yang diinginkan ^ t  l  ditemukan. Persamaan (9.3.7) dan generalisasi untuk model ARIMA lain yang paling nyaman untuk sebenarnya menghitung perkiraan. Persamaan (9.3.7) terkadang
disebut bentuk persamaan perbedaan dari perkiraan.
Namun, persamaan (9.3.7) juga dapat dipecahkan untuk menghasilkan ekspresi eksplisit untuk perkiraan dalam hal sejarah diamati dari seri. Iterasi ke belakang pada l di Equa-tion (9.3.7),

Y ^ t  l  =
=

=
Atau

  Y ^ t  l – 1  –   + 
    Y ^ t  l – 2  –    + 
 l – 1  Y ^ t  1  –   + 

Y ^ t  l  =

 +  l  YT –  

(9.3.8)

Penyimpangan saat ini dari mean didiskon oleh faktor  l, yang besarnya menurun dengan meningkatnya waktu Lead. The diskon deviasi kemudian ditambahkan ke Pro-Cess berarti untuk menghasilkan memimpin l ramalan.
Sebagai contoh numerik, pertimbangkan model AR (1) yang telah kita
seri waktu properti warna percobaan. Hasil estimasi kemungkinan maksimum adalah par-tially ditampilkan dalam pameran 7,7 pada halaman 165, tetapi hasil yang lebih lengkap ditampilkan dalam pameran 9,1.