9.1 Empirical Bayes methodImplement

9.1 Empirical Bayes method
Implementation of the credibility estimates requires the knowledge of some unknown parameters in the model. For the limited-fluctuation method, depending on the loss variable of interest, the mean and/or the variance of the loss variable are required. For example, to determine whether full credibility is attained for the prediction of claim frequency, we need to know 0, which can be estimated by the sample mean of the claim frequency.1 For predicting claim severity and aggregate loss/pure premium, the coefficient of variation of the loss variable, CX, is also required, which may be estimated by
(9.1)
Where sx and 0 are the sample standard deviation and sample mean of X, respectively.
In the Buhlmann and Buhlmann-Straub frameworks, the key quantities of interest are the expected value of the process variance, 0, and the variance of the hypothetical means, 0, These quantities can be derived from the Bayesian framework and depend on both the prior distribution and the likelihood. In a strictly Bayesian approach, the prior distribution is given and inference is drawn based on the given prior. For practical applications when researchers are not in a position to state the prior, empirical methods may be applied to estimate the hyperparameters. This is called the empirical Bayes method. Depending on the assumptions about the prior distribution and the likelihood, empirical Bayes estimation may adopt one of the following approaches:2
1. Nonparametric approach: In this approach, no assumptions are made about the particular forms of the prior density of the risk parameters 0 and the conditional density of the loss variable 0. The method is very general and applies to a wide range of models.
2. Semiparametric approach: In some practical applications, prior experience may suggest a particular distribution for the loss variable X, while the specification of the prior distribution remains elusive. In such cases, parametric assumptions concerning 0 may be made, while the prior distribution of the risk parameters 0 remains unspecified.
3. Parametric approach: When the researcher makes specific assumptions about 0 and 0, the estimation of the parameters in the model may be carried out using the maximum likelihood estimation (MLE) method. The properties of these estimators follow the classical results of MLE, as discussed in Appendix A.19 and Chapter 12. While in some cases the MLE can be derived analytically, in many situations they have to be computed numerically.

Hasil (Bahasa Indonesia) 1:

9.1 empiris metode BayesPelaksanaan perkiraan kredibilitas memerlukan pengetahuan beberapa parameter yang tidak diketahui dalam model. Metode terbatas-fluktuasi, tergantung pada variabel kehilangan kepentingan, mean dan/atau varians variabel kerugian yang diperlukan. Misalnya, untuk menentukan apakah kredibilitas penuh dicapai untuk prediksi frekuensi klaim, kita perlu tahu 0, yang dapat diperkirakan oleh mean sampel dari frequency.1 klaim untuk memprediksi keparahan klaim dan agregat kerugian/murni premium, Koefisien variasi variabel kerugian, CX, juga diperlukan, yang dapat diperkirakan oleh(9.1)Mana sx dan 0 adalah deviasi standar sampel dan sampel berarti x, masing-masing. Dalam kerangka Buhlmann dan Buhlmann-Straub, jumlah kunci kepentingan nilai yang diharapkan dari proses varians, 0, dan varians dari sarana hipotetis, 0, jumlah ini bisa berasal dari kerangka Bayesian dan tergantung pada distribusi sebelum dan kemungkinan. Dalam ketat Bayesian pendekatan, distribusi sebelumnya diberikan dan kesimpulan yang diambil berdasarkan sebelumnya diberikan. Untuk aplikasi praktis ketika para peneliti tidak dalam posisi untuk menyatakan sebelumnya, metode empiris dapat diterapkan untuk memperkirakan hyperparameters. Ini disebut metode Bayes empiris. Tergantung pada asumsi tentang distribusi sebelum dan kemungkinan, empiris Bayes estimasi mungkin mengadopsi satu pendekatan berikut: 21. nonparametric pendekatan: dalam pendekatan ini, tidak ada-anggapan ini dibuat tentang bentuk-bentuk tertentu kepadatan sebelumnya parameter risiko 0 dan kepadatan bersyarat variabel penurunan 0. Metode yang sangat umum dan berlaku untuk berbagai macam model.2. semiparametric pendekatan: di beberapa aplikasi praktis, pengalaman sebelumnya mungkin menyarankan distribusi tertentu untuk kehilangan variabel X, sementara spesifikasi distribusi sebelumnya masih sulit dipahami. Dalam kasus tersebut, parametrik asumsi tentang 0 dapat dilakukan, sementara distribusi sebelumnya parameter risiko 0 tetap tidak ditentukan.3. parametrik pendekatan: ketika peneliti membuat asumsi-asumsi tertentu tentang 0 dan 0, estimasi parameter dalam model dapat dilakukan menggunakan metode maksimum kemungkinan estimasi (MLE). Sifat-sifat ini penduga ikuti hasil klasik MLE, seperti yang dibahas dalam Apendiks A.19 dan Bab 12. Sementara dalam beberapa kasus MLE dapat diturunkan analitis, dalam banyak situasi mereka harus dihitung secara numerik.

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:

9.1 empiris Bayes metode
Pelaksanaan perkiraan kredibilitas membutuhkan pengetahuan tentang beberapa parameter yang tidak diketahui dalam model. Untuk metode terbatas fluktuasi, tergantung pada variabel kehilangan minat, mean dan / atau varians dari variabel kerugian yang diperlukan. Misalnya, untuk menentukan apakah kredibilitas penuh dicapai untuk prediksi frekuensi klaim, kita perlu tahu 0, yang dapat diperkirakan dengan rata-rata sampel dari klaim frequency.1 Untuk memprediksi keparahan klaim dan agregat loss / premium murni, koefisien variasi dari variabel loss, CX, juga diperlukan, yang dapat diperkirakan dengan
(9.1)
Dimana sx dan 0 adalah sampel standar deviasi dan sampel rata-rata X, masing-masing.
Dalam kerangka Buhlmann dan Buhlmann-Straub, jumlah kunci menarik adalah nilai yang diharapkan dari varians proses, 0, dan varians dari sarana hipotetis, 0, jumlah ini bisa berasal dari kerangka Bayesian dan tergantung pada kedua distribusi sebelumnya dan kemungkinan. Dalam pendekatan ketat Bayesian, distribusi sebelum diberikan dan kesimpulan yang ditarik berdasarkan sebelum diberikan. Untuk aplikasi praktis ketika peneliti tidak dalam posisi untuk menyatakan sebelumnya, metode empiris dapat diterapkan untuk memperkirakan hyperparameters. Ini disebut metode empiris Bayes. Tergantung pada asumsi tentang distribusi sebelum dan kemungkinan, estimasi Bayes empirik dapat mengadopsi salah satu pendekatan berikut: 2
1. Pendekatan nonparametrik: Dalam pendekatan ini, tidak ada asumsi yang dibuat tentang bentuk-bentuk tertentu dari kepadatan sebelumnya dari parameter risiko 0 dan kepadatan bersyarat dari variabel kerugian 0. Metode ini sangat umum dan berlaku untuk berbagai model.
2. Pendekatan semiparametrik: Dalam beberapa aplikasi praktis, pengalaman sebelumnya mungkin menyarankan distribusi tertentu untuk kehilangan variabel X, sedangkan spesifikasi distribusi sebelumnya tetap sulit dipahami. Dalam kasus tersebut, asumsi parametrik mengenai 0 dapat dilakukan, sedangkan distribusi prior parameter risiko 0 tetap tidak ditentukan.
3. Pendekatan parametrik: Ketika peneliti membuat asumsi tertentu tentang 0 dan 0, estimasi parameter dalam model dapat dilakukan dengan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood (MLE). Sifat-sifat penduga ini mengikuti hasil klasik MLE, seperti yang dibahas dalam Lampiran A.19 dan Bab 12. Sementara dalam beberapa kasus MLE dapat diturunkan secara analitis, dalam banyak situasi mereka harus dihitung secara numerik.