(A2) The n performances of the expe

(A2) The n performances of the experiment by which we obtain a sample (x1,y1), …, (xn,yn) are independent
Assumption (A2) is satisfied for instance, in Ex. 1 of sec. 17.2. it isn’t satisfied, for example in experiment where x is the time and Y is the height of a growing plant.
Β in (1) is called the regression coefficient of the population. To justify this name, we shall prove the following theorem.
Theorem 1. Under Assumption (A1) and (A2) the regression coefficient b in sample regression line
Y= a + bx
Is the maximum likelihood estimate ( Sec. 11.5) of β, and a is the maximum likelihood estimate of a
Proof. y in the sample value ( xj,yj) may be regarded as an observed value of a random variable Yj which by assumption (A1) is normal with mean α +βx and variance δ2. Hence Yj has the probability density function
1…. 297

Where exp u means eu. From assumption (A2) it follows that the random variabel, Y1, … , Yn are independent. Thus the likelihood function is
2 …. 297
Where Σ indicates summation over j from 1 to n. taking logarithms we have
3 …. 297

We now obtain the maximum likelihood estimates of α,β and δ by defferentating and setting the partial derivatives equal to zero ; thus
4 … 297
Denoting the Maximum likelihood estimates by , , and , we see that (2a) and (2b) may be written
5 … 297

If we set = a and = b , this becomes identical with the second pair of formulas in the preceding section, and theorem 1 is proved.
Furthermore, from (2 c) we obtain the maximum likelihood estimate
….( 298 )
17.5 Confidence Intervals for the regression Cefficient
Table 17.5.1 shows how to determine a confidence interval for the regression coefficient β when assumptions (A1) and (A2) , sec 17.4, hold. In this connection we remember that β is the slope of the mean
…. (298)
That has been introduced in connection with those assumptions. The theory corresponding to the method in table 17.5.1, will be discussed in sec. 17.8, together with the theory of two other methods to be presented in the next two section.

Table 17.5.1. determine of a Confidence Interval for the Regression Coefficient β under Assumption (A1) and (A2) in sec 17.4

Example 1 ( Regression of the hardness of steel on the amount of deformation at normal temperatures). In the production of tools the method of deforming steel at normal temperature ( 80oF , for example) is of increasing importance. We may expect that this process affects the hardness of the steel. To investigate this realitionship, the sample in table 17.5.2. deformation x ( in millimeters) and Brinell Hardness y ( in kilograms/milimeter2) of a certain type of steel ( type 556-5) (k. Schimz, indstr, Organisation, 26,1957,107)
Deformation
xj ( in millimeters) Brinell Hardness
yj ( in kilograms/ milimeter2)
6 68
9 67
11 65
13 53
22 44
26 40
28 37
33 34
35 32
Table 17.5.2 was taken. The corresponding graphical representation ( Fig. 17.5.1) shows that we may regard the regression curve corresponding to the regression of the Brinell hardness γ on the deformation x as a straight line. ( A corresponding test for linearity will be discussed later). We supposed that in the present experiment Assumptions ( A1) and (A2), sec. 17.4, are satisfied, so that we may use the procesure in Table 17.5.1 for determining a confidence interval for the regression coefficient β.
From the given data we obtain
… 299
Since n = 9, it follows that
… 299
Furthermore,
…299
(gambar)
Inserting rhese values, we obtain from (6), sec 17.1,
…. 300
And from (8), Sec. 17.1
… 300
This yields the regression coefficient
… 300
Which is negative. Hence the regression line has the representation ( cf. Fig. 17.5.1)
… 300
This can also be written
…. 300
We shall now determine a confidence interval for the regression coefficient ( cf. Table 17.5.1).
1st step. We choose the confidence level γ = 0.95
2nd step. The right-hand side of (2) equals (1+γ)/2 = 0.975, and table 8 with n-2 = 7 degrees of freedom gives the solution c = 2.37
3rd step. Using the above values and (3), sec 17.3, we compute
…. 300
From (4) in sec. 17.3 we obtain
… 300
(more exactly, q = 77.15, as can be seen by using more digits and rounding at the end of the computation). Formula (3) thus gives
… 300
Since b = -1,32 ( see above), the confidence interval is
… 301
Figure 17.5.2 shows two straight lines through ( x,y) with slopes -1.58 and -1.06

Problems
1.-6 . In each case find a 95% -confidence interval for the regression coefficient β, using the given sample and supposing that assumptions (A1) and (A2), Sec.17.4 are satisfied
The sample in problem 4,Sec 17.2.
The sample in Example 1, Sec 17.2.
The sample in Problem 3, Sec. 17.2.

X=date of first appearance of shoots of wheat where 1= June 1, 2 = June 2, etc ;
Y= percentage of plants attacked by gout-flies:

X=humidity of air ( in percent), y= expapansion of gelatin ( in percent) :

17.6 Confidence Intervals for the Mean Value
We shall now see how to determine a confidence interval for the mean value
(1)
When the regression curve is a straight line and Assumptions (A1) and (A2) (cf.Sec,17.4) hold. Table 17.6.1 shows how to proceed. The corresponding theory will be presented in Sec. 17.8.
The confidence interval (4) has length 2k(x). For a chosen γ and a given sample, this length depends on x because h depends on x. it’s minimum for x=x. this can be seen from (3) and is illustrated in Fig. 17.6.1. the length increases with increasing distance of x from x. this becomes understandable if we remember the confidence interval for β.

Table 17.6.1. determination of a confidence interval for the Mean Value (1) Under Assumptions (A1) and (A2) in Sec. 17.4.

Example 1. Using the sample in Example 1, Sec. 17.5, determine a 95 %- confidence interval for the mean value
Some of the quantitaties computed in that example can be used for the present purpose, according to (6), Sec. 17.5, we have
y= 75.73 – 1.32 x
and this will be needed in (4), Furthermore, from (3) we obtain
…..

Table 17.6.2. Confidence Region (4) in example 1
x h 7.8h 75.7-1.32x Confidence Interval (4)
5 0.600 4.7 69.1 64.4 … 73.8
10 0.473 3.7 62.5 58.8 … 66.2
15 0.376 2.9 55.9 53.0 … 58.8
20 0.334 2.6 49.3 46.7 … 51.9
20.33 0.333 2.6 48.9 46.3 … 51.5
25 0.366 2.9 42.7 39.8 … 45.6
30 0.458 3.6 36.1 32.5 … 39.7
35 0.582 4.5 29.5 25.0 … 34.0

Fig. 17.6.1. Confidence region for the mean value in Ex.1
Where
….
h becomes minimum when x=x=20.33. then h = 1/3 and k= 7.8/3=2.6. The corresponding confidence interval has the endpoints
48.9 – 2.6 = 46.3 and 48.9 + 2.6 = 51.5
The more x deviates from x, the bigger h becomes and the longer the confidence interval (4) will be; cf. Table 17.6.2. Fig. 17.6.1. shows the curves of the endpoints of this interval for variable x; these curves are denoted by C1 and C2. The figure may be used for determining the length of that interval for a given x ( with a limited degree of precision). For example , for x = 18 we find that
CONF { 49…
The region between C1 and C2 is called a confidence region or confidence belt.
Problems
1.-4. In each case find a 95%-confidence interval for the mean (1) using the given sample and supposing that Assumptions (A1) and (A2). Sec 17.4,hold.
The sample in Example 1, Sec. 17.2.
….
Height x ( in centimeters ) and fronto-occipilatic circumference of head y (in centimeters) of 10 babies at birth
Deviation y ( in multiples of 1/10000 radian) of a certain type of telescope sight at temperature x ( in centigrades )

17.7. Test for the Regression Coefficient
Table 17.7.1 shows how to test a hypothesis β=βo against an alternative β>βo. The testing procedure is similar to those in Chap. 13. In table 17.7.1 we use the notation α* because α was used in Sec.17.4 for a different purpose. The theory of the test will be considered in the next section.
In the case of the two-sided alternative ββo we must replace (1) by
P(T…
Then if – c  to  c, the hypothesis is not rejected; otherwise it is rejected. Of particular practical importance is the test of the hypothesis β=0. If this hypothesis is true, then the regression line of the population is horizontal that is, Y is independent of x.

Table 17.7.1. Test of the Hypothesis β=βo against the alternative β>βo under Assumption (A1) and (A2) in Sec. 17.4

Table 17.7.2 “Elbow Distance” yj and
Height xj of 22 women ( M.Enzmann,
Industr,Organisation,27,1958, 185)
Height
xj ( centimeters ) “Elbow Distance”
yj ( centimeters )
159 24 24
160 23 24 27
161 24 24 25 26
162 23 24 24 29
166 23 23 25
168 24 29 30 31
172 24 25

Example 1 (“Elbow Distance” of seated persons). In connection with the design of certain working tables, it was of interest to consider the distance from the seat to the elbows ( in lowest position ) of a seated person. For the sake of brevity we shall call this quantity th “elbow distance” and denoted it by Y. We ask for the regression of Y on the height x of a values, the sample size being n = 22. Observed values of Y corresponding to the same value of x are written in the same row, and the x-value is written only once per row. The corresponding figure (Fig.17.7.1) shows that the sample values are scattered. We want to test the hypothesis β=0 against the alternative β>0, suggested by yhe nature of the problem. It’s rather obvious that Assumptions (A2), Sec. 17.4 , is satisfied and we shall also assume that (A1) holds.
We set
(3) xj = xj* + 159, yj = yj* + 23
Fig. 17.7.1. Sample values in Table 17.7.2 and the regression line of the y-values on the x-values
Table 17.7.3. Coded Values in Example 1
xj* = xj – 159 yj = yj – 23
0 1 1
1 0 2 4
2 1 1 2 3
3 0 1 1 6
7 0 0 2
9 1 6 7 8
13 1 2

Then we obtain from Table 17.7.2 the more convenient values shown in Table 17.7.3 and from the latter
∑▒〖x_j* = 0.2 + 1.3 + 2.4 + … + 13.2 = 106〗
∑▒〖x_j *^2 = 0^2.2 + 1^2.3 + 2^2.4 + … + 〖13〗^2.2 = 864〗

Where exp u means eu. From assumption (A2) it follows that the random variabel, Y1, … , Yn are independent. Thus the likelihood function is 
2 …. 297
Where Σ indicates summation over j from 1 to n. taking logarithms we have 
3 …. 297

We now obtain the maximum likelihood estimates of α,β and δ by defferentating and setting the partial derivatives equal to zero ; thus
4 … 297
Denoting the Maximum likelihood estimates by , , and , we see that (2a) and (2b) may be written 
5 … 297

If we set = a and = b , this becomes identical with the second pair of formulas in the preceding section, and theorem 1 is proved. 
Furthermore, from (2 c) we obtain the maximum likelihood estimate 
….( 298 )
17.5 Confidence Intervals for the regression Cefficient
 Table 17.5.1 shows how to determine a confidence interval for the regression coefficient β when assumptions (A1) and (A2) , sec 17.4, hold. In this connection we remember that β is the slope of the mean
…. (298)
That has been introduced in connection with those assumptions. The theory corresponding to the method in table 17.5.1, will be discussed in sec. 17.8, together with the theory of two other methods to be presented in the next two section.

Table 17.5.1. determine of a Confidence Interval for the Regression Coefficient β under Assumption (A1) and (A2) in sec 17.4

Example 1 ( Regression of the hardness of steel on the amount of deformation at normal temperatures). In the production of tools the method of deforming steel at normal temperature ( 80oF , for example) is of increasing importance. We may expect that this process affects the hardness of the steel. To investigate this realitionship, the sample in table 17.5.2. deformation x ( in millimeters) and Brinell Hardness y ( in kilograms/milimeter2) of a certain type of steel ( type 556-5) (k. Schimz, indstr, Organisation, 26,1957,107)
Deformation
xj ( in millimeters)  Brinell Hardness
yj ( in kilograms/ milimeter2)
6 68
9 67
11 65
13 53
22 44
26 40
28 37
33 34
35 32
Table 17.5.2 was taken. The corresponding graphical representation ( Fig. 17.5.1) shows that we may regard the regression curve corresponding to the regression of the Brinell hardness γ on the deformation x as a straight line. ( A corresponding test for linearity will be discussed later). We supposed that in the present experiment Assumptions ( A1) and (A2), sec. 17.4, are satisfied, so that we may use the procesure in Table 17.5.1 for determining a confidence interval for the regression coefficient β.
From the given data we obtain
… 299
Since n = 9, it follows that
… 299
Furthermore,
…299
(gambar)
Inserting rhese values, we obtain from (6), sec 17.1,
…. 300
And from (8), Sec. 17.1
… 300
This yields the regression coefficient
… 300
Which is negative. Hence the regression line has the representation ( cf. Fig. 17.5.1)
… 300
 This can also be written
…. 300
We shall now determine a confidence interval for the regression coefficient ( cf. Table 17.5.1).
1st step. We choose the confidence level γ = 0.95
2nd step. The right-hand side of (2) equals (1+γ)/2 = 0.975, and table 8 with n-2 = 7 degrees of freedom gives the solution c = 2.37
3rd step. Using the above values and (3), sec 17.3, we compute 
…. 300
From (4) in sec. 17.3 we obtain
… 300
(more exactly, q = 77.15, as can be seen by using more digits and rounding at the end of the computation). Formula (3) thus gives
… 300
Since b = -1,32 ( see above), the confidence interval is 
… 301
Figure 17.5.2 shows two straight lines through ( x,y) with slopes -1.58 and -1.06

Problems
1.-6 . In each case find a 95% -confidence interval for the regression coefficient β, using the given sample and supposing that assumptions (A1) and (A2), Sec.17.4 are satisfied 
 The sample in problem 4,Sec 17.2.
 The sample in Example 1, Sec 17.2.
 The sample in Problem 3, Sec. 17.2.
  
 X=date of first appearance of shoots of wheat where 1= June 1, 2 = June 2, etc ;
Y= percentage of plants attacked by gout-flies:

X=humidity of air ( in percent), y= expapansion of gelatin ( in percent) :

17.6 Confidence Intervals for the Mean Value
We shall now see how to determine a confidence interval for the mean value
(1)
When the regression curve is a straight line and Assumptions (A1) and (A2) (cf.Sec,17.4) hold. Table 17.6.1 shows how to proceed. The corresponding theory will be presented in Sec. 17.8.
The confidence interval (4) has length 2k(x). For a chosen γ and a given sample, this length depends on x because h depends on x. it’s minimum for x=x. this can be seen from (3) and is illustrated in Fig. 17.6.1. the length increases with increasing distance of x from x. this becomes understandable if we remember the confidence interval for β.

Table 17.6.1. determination of a confidence interval for the Mean Value (1) Under Assumptions (A1) and (A2) in Sec. 17.4.

Example 1. Using the sample in Example 1, Sec. 17.5, determine a 95 %- confidence interval for the mean value
Some of the quantitaties computed in that example can be used for the present purpose, according to (6), Sec. 17.5, we have
y= 75.73 – 1.32 x
and this will be needed in (4), Furthermore, from (3) we obtain 
…..

Table 17.6.2. Confidence Region (4) in example 1
x h 7.8h 75.7-1.32x Confidence Interval (4)
5 0.600 4.7 69.1 64.4 … 73.8
10 0.473 3.7 62.5 58.8 … 66.2
15 0.376 2.9 55.9 53.0 … 58.8
20 0.334 2.6 49.3 46.7 … 51.9
20.33 0.333 2.6 48.9 46.3 … 51.5
25 0.366 2.9 42.7 39.8 … 45.6
30 0.458 3.6 36.1 32.5 … 39.7
35 0.582 4.5 29.5 25.0 … 34.0

Fig. 17.6.1. Confidence region for the mean value in Ex.1
Where
….
h becomes minimum when x=x=20.33. then h = 1/3 and k= 7.8/3=2.6. The corresponding confidence interval has the endpoints
48.9 – 2.6 = 46.3 and 48.9 + 2.6 = 51.5
The more x deviates from x, the bigger h becomes and the longer the confidence interval (4) will be; cf. Table 17.6.2. Fig. 17.6.1. shows the curves of the endpoints of this interval for variable x; these curves are denoted by C1 and C2. The figure may be used for determining the length of that interval for a given x ( with a limited degree of precision). For example , for x = 18 we find that
CONF { 49…
The region between C1 and C2 is called a confidence region or confidence belt.
Problems
1.-4. In each case find a 95%-confidence interval for the mean (1) using the given sample and supposing that Assumptions (A1) and (A2). Sec 17.4,hold.
 The sample in Example 1, Sec. 17.2.
 ….
 Height x ( in centimeters ) and fronto-occipilatic circumference of head y (in centimeters) of 10 babies at birth
 Deviation y ( in multiples of 1/10000 radian) of a certain type of telescope sight at temperature x ( in centigrades )

17.7. Test for the Regression Coefficient
Table 17.7.1 shows how to test a hypothesis β=βo against an alternative β>βo. The testing procedure is similar to those in Chap. 13. In table 17.7.1 we use the notation α* because α was used in Sec.17.4 for a different purpose. The theory of the test will be considered in the next section.
In the case of the two-sided alternative ββo we must replace (1) by
P(T…
Then if – c  to  c, the hypothesis is not rejected; otherwise it is rejected. Of particular practical importance is the test of the hypothesis β=0. If this hypothesis is true, then the regression line of the population is horizontal that is, Y is independent of x.

Table 17.7.1. Test of the Hypothesis β=βo against the alternative β>βo under Assumption (A1) and (A2) in Sec. 17.4

Table 17.7.2 “Elbow Distance” yj and
Height xj of 22 women ( M.Enzmann,
Industr,Organisation,27,1958, 185)
Height
xj ( centimeters ) “Elbow Distance”
yj ( centimeters )
159 24 24 
160 23 24 27 
161 24 24 25 26
162 23 24 24 29
166 23 23 25 
168 24 29 30 31
172 24 25

Example 1 (“Elbow Distance” of seated persons). In connection with the design of certain working tables, it was of interest to consider the distance from the seat to the elbows ( in lowest position ) of a seated person. For the sake of brevity we shall call this quantity th “elbow distance” and denoted it by Y. We ask for the regression of Y on the height x of a values, the sample size being n = 22. Observed values of Y corresponding to the same value of x are written in the same row, and the x-value is written only once per row. The corresponding figure (Fig.17.7.1) shows that the sample values are scattered. We want to test the hypothesis β=0 against the alternative β>0, suggested by yhe nature of the problem. It’s rather obvious that Assumptions (A2), Sec. 17.4 , is satisfied and we shall also assume that (A1) holds.
We set 
(3)  xj = xj* + 159,  yj = yj* + 23
Fig. 17.7.1. Sample values in Table 17.7.2 and the regression line of the y-values on the x-values
Table 17.7.3. Coded Values in Example 1
xj* = xj – 159  yj = yj – 23 
0 1 1 
1 0 2 4 
2 1 1 2 3
3 0 1 1 6
7 0 0 2 
9 1 6 7 8
13 1 2

Then we obtain from Table 17.7.2 the more convenient values shown in Table 17.7.3 and from the latter
∑▒〖x_j* = 0.2 + 1.3 + 2.4 + … + 13.2 = 106〗
∑▒〖x_j *^2 = 0^2.2 + 1^2.3 + 2^2.4 + … + 〖13〗^2.2 = 864〗

0/5000

Dari: -

Ke: -

Hasil (Bahasa Indonesia) 1: [Salinan]

Disalin!

(A2) Pertunjukan n percobaan yang kami mendapatkan sampel (x 1, y1),..., (xn yang dikonversi, yn) independen Asumsi (A2) sebagai contoh, puas dalam Keluaran 1 17.2 sec.. Hal ini tidak puas, misalnya dalam percobaan mana x adalah waktu dan Y adalah ketinggian tanaman tumbuh.Β di (1) disebut regresi dengan koefisien dari populasi. Untuk membenarkan nama ini, kita akan membuktikan teorema berikut.Teorema 1. Di bawah asumsi (A1) dan (A2) b koefisien regresi dalam sampel regresi barisY = + bxPerkiraan kemungkinan maksimum (Sec. 11,5) dari β, dan adalah perkiraan maksimum kemungkinanBukti. y nilai sampel (xj, yj) dapat dianggap sebagai nilai variabel acak Yj yang oleh asumsi (A1) normal dengan δ2 berarti α + βx dan varians diamati. Maka Yj memiliki fungsi kepekatan probabilitas1... 297Mana exp u berarti Uni Eropa. Dari asumsi (A2) maka acak variabel, Y1,..., Yn independen. Dengan demikian fungsi kemungkinan adalah 2... 297Mana Σ menunjukkan penjumlahan atas j dari 1 untuk n. mengambil logaritma kami memiliki 3... 297Kita sekarang mendapatkan perkiraan maksimum kemungkinan α, β dan δ dengan defferentating dan pengaturan turunan parsial setara dengan nol; dengan demikian4... 297Menunjukkan kemungkinan maksimum perkiraan oleh,, dan, kita melihat bahwa (2a) dan (2b) dapat ditulis 5... 297Jika kita mengatur = dan = b, ini menjadi identik dengan sepasang kedua rumus dalam bagian sebelumnya, dan ini membuktikan teorema 1. Selain itu, dari (2 c) kita mendapatkan perkiraan maksimum kemungkinan ... (298)17,5 Confidence interval untuk regresi Cefficient Tabel 17.5.1 menunjukkan bagaimana untuk menentukan interval keyakinan untuk regresi koefisien β ketika asumsi (A1) dan (A2), sec 17,4, memegang. Dalam hubungan ini kita ingat bahwa β lereng mean…. (298)Yang telah diperkenalkan sehubungan dengan asumsi tersebut. Teori sesuai dengan metode dalam tabel 17.5.1, akan dibahas dalam sec. 17,8, bersama dengan teori dua metode lain yang akan disajikan dalam dua bagian.Meja 17.5.1. menentukan interval keyakinan untuk regresi dengan koefisien β di bawah asumsi (A1) dan (A2) di sec 17,4Contoh 1 (regresi kekerasan baja pada jumlah deformasi pada suhu normal). Dalam produksi alat metode deformasi baja pada suhu normal (80oF, misalnya) menjadi semakin penting. Kita mungkin mengharapkan bahwa proses ini mempengaruhi kekerasan baja. Untuk menyelidiki ini realitionship, sampel dalam tabel 17.5.2. deformasi x (dalam satuan milimeter) dan kekerasan Brinell y (dalam kg/milimeter2) dari jenis tertentu dari baja (tipe 556-5) (k. Schimz, indstr, organisasi, 26,1957,107)DeformasiXJ (dalam satuan milimeter) kekerasan BrinellYJ (dalam kg / milimeter2)6 689 6711 6513 5322 4426 4028 3733 3435 32Tabel 17.5.2 diambil. Representasi grafis yang sesuai (Fig. 17.5.1) menunjukkan bahwa kita mungkin menganggap kurva regresi sesuai regresi γ kekerasan Brinell pada deformasi x sebagai garis lurus. (Tes yang sesuai untuk linearitas akan dibahas nanti). Kita seharusnya bahwa di masa kini percobaan asumsi (A1) dan (A2), sec. 17,4, puas, sehingga kami dapat menggunakan procesure dalam tabel 17.5.1 untuk menentukan interval keyakinan untuk regresi koefisien β.Dari data yang diberikan kita memperoleh… 299Sejak n = 9, dikatakan bahwa… 299Selain itu,… 299(gambar)Memasukkan nilai-nilai rhese, yang kami peroleh dari (6), sec 17.1,…. 300Dan (8), Sec. 17.1… 300Ini menghasilkan regresi dengan koefisien… 300Yang negatif. Maka garis regresi memiliki perwakilan (cf. gambar 17.5.1)… 300 Ini juga bisa ditulis…. 300Kita sekarang akan menentukan interval keyakinan untuk regresi dengan koefisien (Lihat tabel 17.5.1).Langkah 1. Kita memilih γ tingkat kepercayaan 0,95 =Langkah 2. Sisi kanan (2) sama dengan (1 + γ) / 2 = 0.975, dan tabel 8 dengan n-2 = 7 derajat kebebasan memberikan solusi c = 2,37Langkah 3. Menggunakan nilai-nilai di atas dan (3), sec 17,3, kita menghitung …. 300Dari (4) di sec. 17,3 kita memperoleh… 300(lebih tepatnya, q = 77.15, seperti dapat dilihat dengan menggunakan angka lainnya dan pembulatan pada akhir perhitungan). Jadi memberikan rumus (3)… 300Sejak b = - 1,32 (Lihat di atas), interval kepercayaan … 301Gambar 17.5.2 menunjukkan dua garis lurus melalui (x, y) dengan lereng-1.58 dan-1.06Masalah1. -6. Dalam setiap kasus menemukan 95%-interval keyakinan untuk β koefisien regresi, menggunakan sampel yang diberikan dan seandainya itu asumsi (A1) dan (A2), Sec.17.4 puas Sampel dalam masalah 4, Sec 17.2. Contoh dalam contoh 1, Sec 17.2. Sampel dalam masalah 3, Sec. 17.2. X = tanggal penampilan pertama tunas gandum mana 1 = 1 Juni 2 = 2 Juni, dll;Y = persentase tanaman diserang oleh asam urat-lalat: X = kelembaban udara (dalam persen), y = expapansion gelatin (dalam persen):17,6 Confidence interval untuk nilai rata-rataKita sekarang akan melihat bagaimana untuk menentukan interval keyakinan untuk nilai rata-rata(1)Ketika kurva regresi adalah garis lurus dan asumsi (A1) dan (A2) (cf. SEC, 17,4) terus. Tabel 17.6.1 menunjukkan bagaimana untuk melanjutkan. Teori terkait akan disajikan di Sec. 17,8.Interval kepercayaan (4) memiliki panjang 2k(x). Untuk γ pilihan dan sampel yang diberikan, panjang ini tergantung pada x karena h tergantung pada x. minimum untuk x = x. ini dapat dilihat dari (3) dan diilustrasikan pada gambar 17.6.1. peningkatan panjang dengan meningkatkan jarak x dari x. ini menjadi mudah dipahami jika kita ingat interval kepercayaan untuk β.Meja 17.6.1. penentuan interval keyakinan untuk berarti nilai (1) di bawah asumsi (A1) dan (A2) di Sec. 17,4.Contoh 1. Menggunakan sampel dalam contoh 1, Sec. 17,5, menentukan interval keyakinan 95% nilai rata-rataBeberapa quantitaties yang dihitung dalam contoh dapat digunakan untuk tujuan yang hadir, menurut (6), Sec. 17,5, kami memilikiy = x 75.73 – 1,32dan ini akan diperlukan di (4), selanjutnya, dari (3) kita memperoleh …..Meja 17.6.2. Keyakinan wilayah (4) dalam contoh 1x h 7.8h 75,7-1,32 x Interval kepercayaan (4)5 0.600 4.7 69.1 64.4... 73. 810 0.473 3.7 62.5 58,8... 66.215 0.376 2.9 55.9 53.0... 58,820 0.334 2.6 46. 7 49.3... hasil 51,920,33 0.333 2.6 48,9 46,3... 51,525 0.366 2.9 42,7 39.8... 45. 630 0.458 3.6 36,1 32,5... 39,735 0.582 4.5 29,5 25.0... 34.0Gambar 17.6.1. Keyakinan daerah untuk nilai rata-rata di Ex.1Mana….h menjadi minimum ketika x = x = 20,33. kemudian h = 1/3 dan k = 7.8/3=2.6. Interval kepercayaan sesuai telah Endpoint48.9 – 2.6 = 46,3 dan 48.9 + 2.6 = 51,5X lebih banyak menyimpang dari x, menjadi h lebih besar dan lebih lama interval kepercayaan (4) akan menjadi; rujuk meja 17.6.2. Gambar 17.6.1. menunjukkan kurva Endpoint ini interval x variabel; kurva ini dilambangkan oleh C1 dan C2. Gambar dapat digunakan untuk menentukan panjang interval untuk x diberikan (dengan tingkat presisi yang terbatas). Misalnya, untuk x = 18 kita dapati bahwaCONF {49...Daerah antara C1 dan C2 disebut wilayah kepercayaan atau keyakinan sabuk.Masalah1.-4. Dalam setiap kasus menemukan interval keyakinan 95% untuk berarti (1) menggunakan sampel yang diberikan dan seandainya itu asumsi (A1) dan (A2). SEC 17,4, memegang. Contoh dalam contoh 1, Sec. 17.2. …. Tinggi x (dalam cm) dan fronto-occipilatic lingkar kepala y (dalam sentimeter) 10 bayi saat lahir Y deviasi (dalam kelipatan dari radian 1/10000) jenis tertentu dari teleskop penglihatan pada suhu x (di centigrades)17.7. tes untuk regresi dengan koefisienTabel 17.7.1 menunjukkan cara untuk menguji hipotesis β = βo terhadap β alternatif > βo. Prosedur pengujian ini mirip dengan orang-orang dalam Bab 13. Dalam tabel 17.7.1 yang kami menggunakan notasi α * karena α digunakan dalam Sec.17.4 untuk tujuan yang berbeda. Teori tes akan dipertimbangkan pada bagian berikutnya.Dalam kasus dua sisi alternatif ββo kita harus mengganti (1) olehP(T...Kemudian jika-c   c, hipotesis tidak ditolak; Jika tidak ditolak. Penting praktis adalah tes hipotesis β = 0. Jika hipotesis ini benar, maka garis regresi penduduk horisontal, Y independen x.Meja 17.7.1. Uji hipotesis β = βo terhadap β alternatif > βo di bawah asumsi (A1) dan (A2) di 17,4 Sec.Tabel 17.7.2 "Siku jarak" yj danKetinggian xj 22 perempuan (M.Enzmann,Industr, organisasi, 27, 1958, 185)TinggiXJ (sentimeter) "Siku kaki"YJ (cm)159 24 24 160 23 24 27 161 24 24 25 26162 23 24 24 29166 23 23 25 168 24 29 30 31172 24 25 Contoh 1 ("siku jarak" orang-orang yang duduk). Sehubungan dengan desain tabel kerja tertentu, itu menarik untuk mempertimbangkan jarak dari ibukota ke siku (dalam posisi terendah) seseorang duduk. Untuk singkatnya, kami akan memanggil kuantitas th "siku jarak ini" dan dilambangkan oleh Y. Kami meminta regresi y yang tinggi x dari nilai-nilai, ukuran sampel menjadi n = 22. Nilai-nilai yang diamati y sesuai dengan nilai yang sama x ditulis dalam baris yang sama, dan nilai x ditulis hanya sekali per baris. Angka yang sesuai (Fig.17.7.1) menunjukkan bahwa nilai-nilai sampel yang tersebar. Kami ingin menguji hipotesis β = 0 melawan β alternatif > 0, disarankan oleh yhe sifat dari masalah. Hal ini agak jelas bahwa asumsi (A2), Sec. 17,4, puas dan kita juga harus berasumsi bahwa (A1) memegang.Kami menetapkan (3) xj = xj * + 159, yj = yj * + 23Gambar 17.7.1. Contoh nilai dalam tabel 17.7.2 dan garis regresi nilai y pada nilai xMeja 17.7.3. Nilai-nilai dikodekan dalam contoh 1XJ * = xj-159 yj = yj-23 1 0 1 1 0 2 4 2 1 1 2 33 0 1 1 67 0 0 2 9 1 6 7 813 1 2 Kemudian kita memperoleh dari tabel 17.7.2 nilai-nilai lebih nyaman yang ditunjukkan dalam tabel 17.7.3 dan dari kedua∑▒〖x_j * = 0.2 + 1.3 + 2.4 +... + 13,2 = 106〗∑▒〖x_j * ^ 2 = 0 ^ 2.2 + 1 ^ 2,3 + 2 ^ 2.4 +... + 〖13〗 ^ 2.2 = 864〗

Sedang diterjemahkan, harap tunggu..

Hasil (Bahasa Indonesia) 2:[Salinan]

Disalin!

(A2) Pertunjukan n percobaan yang kita mendapatkan sampel (x1, y1), ..., (xn, yn) independen
Asumsi (A2) puas misalnya, di Ex. 1 dari detik. 17.2. tidak puas, misalnya dalam percobaan di mana x adalah waktu dan Y adalah tinggi dari tanaman yang tumbuh.
Β di (1) disebut koefisien regresi populasi. Untuk membenarkan nama ini, kita akan membuktikan teorema berikut.
Teorema 1. Berdasarkan Asumsi (A1) dan (A2) yang koefisien regresi b di garis regresi sampel
Y = a + bx
Apakah estimasi kemungkinan maksimum (Sec. 11.5) dari β, dan adalah estimasi kemungkinan maksimum dari
Bukti. y dalam nilai sampel (xj, yj) dapat dianggap sebagai nilai yang diamati dari variabel Yj acak yang oleh asumsi (A1) adalah normal dengan mean α + βx dan varians δ2. Oleh karena itu Yj memiliki fungsi kepadatan probabilitas
1 .... 297 Dimana exp u berarti eu. Dari asumsi (A2) mengikuti bahwa variabel acak, Y1, ..., Yn independen. Dengan demikian fungsi kemungkinan adalah 2 .... 297 Dimana Σ menunjukkan penjumlahan lebih j dari 1 sampai n. mengambil logaritma kami memiliki 3 .... 297 Kami sekarang memperoleh perkiraan kemungkinan maksimum α, β dan δ oleh defferentating dan menetapkan derivatif parsial sama dengan nol; sehingga 4 ... 297 Yang menunjukkan kemungkinan maksimum memperkirakan oleh, dan, kita melihat bahwa (2a) dan (2b) dapat ditulis 5 ... 297 Jika kita set = a dan b =, ini menjadi identik dengan pasangan kedua rumus di sebelumnya bagian, dan teorema 1 terbukti. Selanjutnya, dari (2 c) kita memperoleh kemungkinan estimasi maksimum .... (298) 17,5 Interval Keyakinan untuk regresi Cefficient Tabel 17.5.1 menunjukkan bagaimana menentukan interval kepercayaan untuk β koefisien regresi ketika asumsi (A1) dan (A2), sec 17,4, tahan. Dalam hubungan ini kita ingat bahwa β adalah kemiringan mean .... (298) Bahwa telah diperkenalkan sehubungan dengan asumsi-asumsi. Teori yang sesuai dengan metode dalam tabel 17.5.1, akan dibahas dalam detik. 17,8, bersama-sama dengan teori dua metode lain yang akan disajikan dalam dua bagian. Tabel 17.5.1. menentukan dari Confidence Interval untuk β Koefisien Regresi bawah Asumsi (A1) dan (A2) di detik 17,4 Contoh 1 (Regresi dari kekerasan baja pada jumlah deformasi pada suhu normal). Dalam produksi alat metode deformasi baja pada suhu normal (80oF, misalnya) adalah semakin penting. Kita mungkin berharap bahwa proses ini mempengaruhi kekerasan baja. Untuk menyelidiki realitionship ini, sampel dalam tabel 17.5.2. deformasi x (dalam milimeter) dan Brinell Hardness y (dalam kilogram / milimeter2) dari jenis tertentu baja (tipe 556-5) (k. Schimz, indstr, Organisasi, 26,1957,107) Deformasi XJ (dalam milimeter) Brinell Kekerasan yj (dalam kilogram / milimeter2) 6 68 9 67 11 65 13 53 22 44 26 40 28 37 33 34 35 32 Tabel 17.5.2 diambil. Yang sesuai representasi grafis (Gambar. 17.5.1) menunjukkan bahwa kami menganggap kurva regresi sesuai dengan regresi kekerasan Brinell γ pada deformasi x sebagai garis lurus. (Sebuah tes yang sesuai untuk linearitas akan dibahas kemudian). Kami menduga bahwa di Asumsi ini percobaan (A1) dan (A2), sec. 17,4, puas, sehingga kita dapat menggunakan procesure pada Tabel 17.5.1 untuk menentukan interval kepercayaan untuk koefisien regresi β. Dari data yang diberikan kita memperoleh ... 299 Sejak n = 9, berarti ... 299 Selanjutnya, ... 299 (gambar) Memasukkan nilai rhese, kita memperoleh dari (6), sec 17,1, .... 300 Dan dari (8), Sec. 17.1 ... 300 ini menghasilkan koefisien regresi ... 300 Yang negatif. Oleh karena itu garis regresi memiliki representasi (lih Gambar. 17.5.1) ... 300 ini juga dapat ditulis .... 300 Sekarang kita akan menentukan interval kepercayaan untuk koefisien regresi (lihat Tabel 17.5.1). langkah 1. Kami memilih tingkat kepercayaan γ = 0,95 langkah 2. Sisi kanan (2) sama dengan (1 + γ) / 2 = 0.975, dan meja 8 dengan = 7 derajat kebebasan 2 n-memberikan solusi c = 2,37 langkah ke-3. Menggunakan nilai di atas dan (3), sec 17,3, kita menghitung .... 300 Dari (4) dalam detik. 17.3 kita memperoleh ... 300 (lebih tepatnya, q = 77,15, seperti dapat dilihat dengan menggunakan lebih digit dan pembulatan pada akhir perhitungan). Formula (3) sehingga memberikan ... 300 Sejak b = -1,32 (lihat di atas), interval kepercayaan adalah ... 301 Gambar 17.5.2 menunjukkan dua garis lurus melalui (x, y) dengan lereng -1,58 dan -1,06 Masalah 1. -6. Dalam setiap kasus menemukan interval -confidence 95% untuk β koefisien regresi, menggunakan sampel yang diberikan dan mengandaikan bahwa asumsi (A1) dan (A2), Sec.17.4 puas Sampel di masalah 4, Sec 17.2. Sampel dalam Contoh 1, Sec 17.2. Sampel dalam Soal 3, Sec. 17.2. X = tanggal penampilan pertama dari tunas gandum di mana 1 = 1 Juni 2 = 2 Juni dll; Y = persentase tanaman terserang gout-lalat: X = kelembaban udara (dalam persen), y = expapansion dari gelatin (dalam persen): 17,6 Interval Keyakinan untuk Mean Nilai Sekarang kita akan melihat bagaimana menentukan interval kepercayaan untuk nilai rata-rata (1) Ketika kurva regresi adalah garis lurus dan Asumsi (A1) dan (A2) (lih Sec, 17,4) terus. Tabel 17.6.1 menunjukkan bagaimana untuk melanjutkan. Teori yang sesuai akan disajikan dalam Sec. 17,8. Interval kepercayaan (4) memiliki panjang 2k (x). Untuk γ dipilih dan sampel yang diberikan, panjang ini tergantung pada x karena h tergantung pada x. itu minimum untuk x = x. ini dapat dilihat dari (3) dan diilustrasikan pada Gambar. 17.6.1. panjang meningkat dengan meningkatnya jarak x dari x. ini menjadi dimengerti jika kita mengingat interval kepercayaan untuk β. Tabel 17.6.1. Penentuan interval kepercayaan untuk Mean Nilai (1) Dalam Asumsi (A1) dan (A2) di Sec. 17,4. Contoh 1. Menggunakan sampel dalam Contoh 1, Sec. 17,5, menentukan 95% - interval kepercayaan untuk nilai rata-rata Beberapa quantitaties dihitung dalam contoh yang dapat digunakan untuk tujuan ini, menurut (6), Sec. 17,5, kita memiliki y = 75,73-1,32 x dan ini akan dibutuhkan dalam (4), Selanjutnya, dari (3) kita memperoleh ... .. Tabel 17.6.2. Keyakinan Daerah (4) dalam contoh 1 xh 7.8h 75.7-1.32x Confidence Interval (4) 5 0.600 4,7 69,1 64,4 73,8 ... 10 0,473 3,7 62,5 58,8 66,2 ... 15 0,376 2,9 55,9 53,0 58,8 ... 20 0,334 2,6 49,3 46,7 ... 51,9 20,33 0,333 2,6 48,9 46,3 51,5 ... 25 0,366 2,9 42,7 39,8 45,6 ... 30 0,458 3,6 36,1 32,5 39,7 ... 35 0,582 4,5 29,5 25,0 34,0 ... Gambar. 17.6.1. Wilayah kepercayaan untuk nilai rata-rata di Ex.1 mana .... h menjadi minimum ketika x = x = 20,33. maka h = 1/3 dan k = 7,8 / 3 = 2,6. Interval kepercayaan yang sesuai memiliki titik akhir 48,9-2,6 = 46,3 dan 48,9 + 2,6 = 51,5 Semakin x menyimpang dari x, semakin besar h menjadi dan semakin lama selang kepercayaan (4) akan; lih Tabel 17.6.2. Gambar. 17.6.1. menunjukkan kurva dari titik akhir dari interval ini untuk variabel x; kurva ini dilambangkan dengan C1 dan C2. Angka tersebut dapat digunakan untuk menentukan panjang interval untuk diberikan x (dengan tingkat yang terbatas presisi). Sebagai contoh, untuk x = 18 kita menemukan bahwa CONF {49 ... The daerah antara C1 dan C2 disebut wilayah keyakinan atau sabuk kepercayaan. Masalah 1.-4. Dalam setiap kasus menemukan interval 95% -confidence untuk mean (1) menggunakan sampel yang diberikan dan mengandaikan bahwa Asumsi (A1) dan (A2). Sec 17,4, tahan. Sampel dalam Contoh 1, Sec. 17.2. .... Tinggi x (dalam cm) dan lingkar fronto-occipilatic kepala y (dalam cm) dari 10 bayi saat lahir Deviasi y (dalam kelipatan 1/10000 radian) dari jenis tertentu teleskop terlihat pada suhu x (di centigrades) 17,7. Uji untuk Koefisien Regresi Tabel 17.7.1 menunjukkan bagaimana untuk menguji hipotesis β = βo terhadap alternatif β> βo. Prosedur pengujian adalah sama dengan yang di Chap. 13. Dalam tabel 17.7.1 kita menggunakan α notasi * karena α digunakan dalam Sec.17.4 untuk tujuan yang berbeda. Teori tes akan dipertimbangkan dalam bagian berikutnya. Dalam kasus alternatif dua sisi ββo kita harus mengganti (1) oleh P (T ... Kemudian jika - c   ke c, hipotesis tidak ditolak ;. selain itu ditolak Of kepentingan praktis tertentu adalah uji hipotesis β = 0 Jika hipotesis ini benar, maka garis regresi populasi adalah horisontal yaitu, Y adalah independen dari x.. Tabel 17.7.1 Uji. dari Hipotesis β = βo terhadap alternatif β> βo bawah Asumsi (A1) dan (A2) di Sec. 17.4 Tabel 17.7.2 "Siku Jarak" yj dan xj Tinggi dari 22 wanita (M.Enzmann, industr, Organisasi, 27 1958, 185) Tinggi xj (cm) "Siku Jarak" yj (cm) 159 24 24 160 23 24 27 161 24 24 25 26 162 23 24 24 29 166 23 23 25 168 24 29 30 31 172 24 25 Contoh 1 ( "Siku Jarak" orang duduk). Sehubungan dengan desain meja kerja tertentu, itu menarik untuk mempertimbangkan jarak dari kursi ke siku (posisi terendah) dari orang yang duduk. Demi singkatnya kita akan menyebut jumlah ini th "jarak siku" dan dilambangkan dengan Y. Kami meminta regresi Y pada ketinggian x dari nilai-nilai, ukuran sampel makhluk n = 22. Nilai Diamati dari Y yang sesuai dengan nilai yang sama dari x ditulis di baris yang sama, dan x-nilai yang ditulis hanya sekali per baris. Sosok yang sesuai (Fig.17.7.1) menunjukkan bahwa nilai-nilai sampel yang tersebar. Kami ingin menguji hipotesis β = 0 terhadap β alternatif> 0, disarankan oleh alam yhe dari masalah. Ini agak jelas bahwa Asumsi (A2), Sec. 17,4, puas dan kami juga akan mengasumsikan bahwa (A1) memegang. Kami menetapkan (3) xj = xj * + 159, yj = yj * + 23 Gambar. 17.7.1. Nilai sampel pada Tabel 17.7.2 dan garis regresi dari y-nilai pada x-nilai Tabel 17.7.3. Nilai kode dalam Contoh 1 XJ * = xj - 159 yj = yj - 23 0 1 1 1 0 2 4 2 1 1 2 3 3 0 1 1 6 7 0 0 2 9 1 6 7 8 13 1 2 Kemudian kita peroleh dari Tabel 17.7.2 nilai lebih nyaman ditunjukkan pada Tabel 17.7.3 dan dari yang terakhir Σ▒ 〖x_j * = 0,2 + 1,3 + 2,4 + ... + 13,2 = 106〗〖Σ▒ x_j * ^ 2 = 0 ^ 2,2 + 1 ^ 2.3 + 2 ^ 2,4 + ... + 〖13〗 ^ 2,2 = 864〗

Sedang diterjemahkan, harap tunggu..

Hasil (Bahasa Indonesia) 3:[Salinan]

Disalin!

Sedang diterjemahkan, harap tunggu..

Bahasa lainnya

Dukungan alat penerjemahan: Afrikans, Albania, Amhara, Arab, Armenia, Azerbaijan, Bahasa Indonesia, Basque, Belanda, Belarussia, Bengali, Bosnia, Bulgaria, Burma, Cebuano, Ceko, Chichewa, China, Cina Tradisional, Denmark, Deteksi bahasa, Esperanto, Estonia, Farsi, Finlandia, Frisia, Gaelig, Gaelik Skotlandia, Galisia, Georgia, Gujarati, Hausa, Hawaii, Hindi, Hmong, Ibrani, Igbo, Inggris, Islan, Italia, Jawa, Jepang, Jerman, Kannada, Katala, Kazak, Khmer, Kinyarwanda, Kirghiz, Klingon, Korea, Korsika, Kreol Haiti, Kroat, Kurdi, Laos, Latin, Latvia, Lituania, Luksemburg, Magyar, Makedonia, Malagasi, Malayalam, Malta, Maori, Marathi, Melayu, Mongol, Nepal, Norsk, Odia (Oriya), Pashto, Polandia, Portugis, Prancis, Punjabi, Rumania, Rusia, Samoa, Serb, Sesotho, Shona, Sindhi, Sinhala, Slovakia, Slovenia, Somali, Spanyol, Sunda, Swahili, Swensk, Tagalog, Tajik, Tamil, Tatar, Telugu, Thai, Turki, Turkmen, Ukraina, Urdu, Uyghur, Uzbek, Vietnam, Wales, Xhosa, Yiddi, Yoruba, Yunani, Zulu, Bahasa terjemahan.